Άθροισμα θετικών ακεραίων

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 07, 2023 11:12 pm
Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\,\ldots \,,{{a}_{k}}$ που το άθροισμά τους όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει έναν

πενταψήφιο αριθμό ο οποίος διαιρείται από το . Δηλαδή ${{\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\,\cdots \,+{{a}_{k}} \right)}^{2}}=\overline{xyzwp}$

και $54/\,\,\overline{xyzwp}$ , όπου $\overline{xyzwp}$ πενταψήφιος αριθμός.

Καλημέρα Ορέστη.

Μάλλον η άσκηση ζητάει να βρούμε όλα τα δυνατά αθροίσματα των $\displaystyle{a_1 , a_2 , . . . , a_k}$ , αντί τα ίδια τα $\displaystyle{a_1 , a_2 , ...,a_k}$

γιατί αυτά είναι πάρα πολλά , και δεν είναι δυνατόν να αναγραφτούν.

Ο πενταψήφιος θα έχει την

μορφή $\displaystyle{54.m}$ . Και θα πρέπει $\displaystyle{\sqrt{54m}}$ να είναι ακέραιος. Δηλαδή ο $\displaystyle{\sqrt{3^2 .6.m}}$ να είναι ακέραιος

και άρα $\displaystyle{m=6.n^2}$ .

Άρα:

$\displaystyle{a_1 +a_2 + . . . +a_k = \sqrt{3^2 . 6. 6n^2 }=18.n}$

Θέλουμε το τετράγωνο να είναι πενταψήφιος. Η ρίζα ενός πενταψήφιου είναι ανάμεσα στους αριθμούς $\displaystyle{100}$ και $\displaystyle{316}$

Άρα $\displaystyle{100\leq 18n\leq 316}$ . Άρα $\displaystyle{6\leq n\leq 17}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{a_1 +a_2 + ... a_k \in \{18.6 , 18.7 , 18.8 , ... , 18.17 \}}$

Δηλαδή:

$\displaystyle{a_1 +a_2 + . . . +a_k \in \{108 , 126 , . . . , 306\}}$

(ΣΗΜ: Διόρθωσα μία απροσεξία σε κάποια πράξη)

Άθροισμα θετικών ακεραίων

Άθροισμα θετικών ακεραίων

Re: Άθροισμα θετικών ακεραίων

Μέλη σε σύνδεση