Χριστουγεννιάτικη εξίσωση

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

giannispapav · #2

Το αριστερό μέλος έχει ολικό ελάχιστο το

για

ενώ το δεξί μέλος έχει ολικό μέγιστο για x=3

το

. Επομένως μοναδική λύση της εξίσωσης είναι το x=3

.

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

giannispapav · #4

Έχουμε $2(x^2-6x)+19=2(x^2-6x+9)+1 \ge 1$ άρα $\sqrt{2(x^2-6x)+19}=\sqrt{2(x^2-6x+9)+1} \ge1$ και η ισότητα ισχύει μόνο για x=3

.

Επίσης $3(x^2-6x)+36=3(x^2-6x+9)+9\ge 9$ άρα $\sqrt{3(x^2-6x)+36}=\sqrt{3(x^2-6x+9)+9} \ge 3$ και η ισότητα ισχύει μόνο για x=3

.

Άρα $\sqrt{2(x^2-6x)+19}+\sqrt{3(x^2-6x)+36} \ge 4$ και η ισότητα ισχύει μόνο για x=3

.

Τέλος έχουμε $-2x^2+12x-14=-2(x^2-6x+9)+4 \leq 4$ και η ισότητα ισχύει μόνο για x=3

.

Έτσι, $\sqrt{2(x^2-6x)+19}+\sqrt{3(x^2-6x)+36}=-2x^2+12x-14 \Leftrightarrow x=3$ .

Το 2019

η ΚΥΜΕ είχε βάλει ως θέμα 4 της Β λυκείου να λυθεί η εξίσωση $\sqrt{7+6x-x^2}+\sqrt{7+12x-2x^2}=x^2-6x+18$ .

#5

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 26, 2023 2:26 pm

giannispapav έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 26, 2023 2:18 pm
Το αριστερό μέλος έχει ολικό ελάχιστο το για ενώ το δεξί μέλος έχει ολικό μέγιστο για το . Επομένως μοναδική λύση της εξίσωσης είναι το .
Αυτά όμως που γράφετε δεν έχουν απόδειξη;

Η απόδειξη είναι απλή:

$\displaystyle{2(x^2 -6x)+19=2(x^2 -6x+9-9)+19=2(x-3)^2 +1\geq 1}$
$\displaystyle{3(x^2 -6x)+36 =3(x^2 -6x+9-9)+36=3(x-3)^2 +9\geq9}$

Άρα το πρώτο μέλος είναι μεγαλύτερο ή ίσο από το $\displaystyle{1+3=4}$ . Και αφού για $\displaystyle{x=3}$ ισχύει η ισότητα, άρα η ελάχιστη τιμή
που μπορεί να πάρει το πρώτο μέλος είναι το $\displaystyle{4}$ , όταν $\displaystyle{x=3}$

Όμοια $\displaystyle{- 2(x^2 -6x)-14 =-2(x^2 -6x+9-9)-14=-2(x-3)^2 +4\leq 4}$

Άρα το δεύτερο μέλος έχει μέγιστη τιμή το $\displaystyle{4}$ , όταν $\displaystyle{x=3}$ .

Συνεπώς η δοσμένη εξίσωση έχει την λύση $\displaystyle{x=3}$

#6

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 26, 2023 12:36 pm
Να λυθεί η εξίσωση: $\sqrt{2\left( {{x}^{2}}-6x \right)+19}+\sqrt{3\left( {{x}^{2}}-6x \right)+36}=-2{{x}^{2}}+12x-14$ .

Η εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle \sqrt {2{{(x - 3)}^2} + 1} + \sqrt {3{{(x - 3)}^2} + 9} = - 2{(x - 3)^2} + 4$

Θέτω $(x-3)^2=t\ge 0$ και έχω $\displaystyle f(t) = \sqrt {2t + 1} + \sqrt {3t + 9} + 2t - 4 = 0$

H εξίσωση έχει την προφανή λύση t=0

κι επειδή $\displaystyle f'(t) = \frac{1}{{\sqrt {2t + 1} }} + \frac{3}{2{\sqrt {3t + 9} }} + 2 > 0,$

η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα, οπότε t=0

είναι η μοναδική ρίζα της εξίσωσης, άρα $\boxed{x=3}.$

Dimessi · #7

Πιο απλά ακόμα (στην ουσία το ίδιο είναι) : $\forall x\in \left ( -\infty,3 \right )\cup \left ( 3,+\infty \right ):-2x^{2}+12x-14<4< \sqrt{2\left ( x-3 \right )^{2}+1}+\sqrt{3\left ( x-3 \right )^{2}+9}.$

Η απόδειξη για την δεξιά βγάζει μάτι. Για την αριστερή, $\forall x\in \left ( -\infty,3 \right )\cup \left ( 3,+\infty \right ):-2x^{2}+12x-14=-2\left ( x-3 \right )^{2}+4< 4.$

Χριστουγεννιάτικη εξίσωση

Χριστουγεννιάτικη εξίσωση

Re: Χριστουγεννιάτικη εξίσωση

Re: Χριστουγεννιάτικη εξίσωση

Re: Χριστουγεννιάτικη εξίσωση

Re: Χριστουγεννιάτικη εξίσωση

Re: Χριστουγεννιάτικη εξίσωση

Re: Χριστουγεννιάτικη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση