Εξέταση σε εξίσωση βαθμού έξι

KARKAR · #1

Να λυθεί ( στο $\mathbb{R}$ ) η εξίσωση : x^6-9x^4-8x^3+27x^2-27=0

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 22, 2024 10:21 am
Να λυθεί ( στο $\mathbb{R}$ ) η εξίσωση :

Με Horner βρίσκω x=-1, x=3,

οπότε η εξίσωση γράφεται

(x+1)(x-3)(x^4+2x^3-2x^2-6x+9)=0.

Αλλά,

$\displaystyle {x^4} + 2{x^3} - 2{x^2} - 6x + 9 = ({x^4} + 2{x^3} - 5{x^2} - 6x + 9) + 3{x^2} = {({x^2} + x - 3)^2} + 3{x^2} > 0$

Άρα οι μοναδικές λύσεις είναι $\boxed{x=-1}$ ή $\boxed{x=3}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Φεβ 22, 2024 10:21 am
Να λυθεί ( στο $\mathbb{R}$ ) η εξίσωση :

Ένας ακόμα τρόπος:

Είναι $\displaystyle{x\neq 0}$ . Διαιρώντας τα μέλη με $\displaystyle{x^3}$ παίρνουμε:

$\displaystyle{x^3 -9x -8 +\frac{27}{x} -\frac{27}{x^3 }=0\Leftrightarrow x^3 - \frac{27}{x^3} - 9(x-\frac{3}{x}) - 8=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(x-\frac{3}{x})^3 +3x.\frac{3}{x}(x-\frac{3}{x})-9(x-\frac{3}{x})-8=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(x-\frac{3}{x})^3 -8=0\Leftrightarrow x-\frac{3}{x}=2 \Leftrightarrow x^2 -2x-3=0}$ ,

και από εδώ προκύπτει $\displaystyle{x=-1 , x=3}$

#4

Με την παρατήρηση ότι $\displaystyle{(x^2-3)^3=x^6-9x^4+27x^2-27}$ , η εξίσωση γράφεται

$\displaystyle{(x^2-3)^3=(2x)^3}$ και τα υπόλοιπα είναι απλά.

KARKAR · #5

Η άσκηση "χτίστηκε" ακριβώς στη γραμμή του Δημήτρη . Δηλαδή αφού η εξίσωση : $x-\dfrac{3}{x}=2$ , έχει ρίζες τις -1 ,3

,

υψώνοντας στον κύβο και πολλαπλασιάζοντας επί x^3

, παίρνουμε την δοθείσα .

Όταν όμως την πρωτοδεί κανείς , ασφαλώς βρίσκοντας τις δύο ακέραιες ρίζες , βρίσκεται μπροστά στο πρόβλημα

να δείξει ότι το x^4+2x^3-2x^2-6x+9

, δεν έχει πραγματικές ρίζες .

Εδώ πιθανόν να επιλεγούν διάφορες προσεγγίσεις . Μία είναι αυτή του Γιώργου .

Μια ακόμη : x^4+2x^3-2x^2-6x+9=(x-1)^2(x^2+4x+5)+4

.

Αυτή του Θάνου δίνει : x^4+2x^3-2x^2-6x+9=(x^2-3)^2+(x^2-3)2x+(2x)^2

, το οποίο είναι

της μορφής : $a^2+ab+b^2 , a\neq b$ , το οποίο δεν έχει ρίζες ( γιατί ; )

Εξέταση σε εξίσωση βαθμού έξι

Εξέταση σε εξίσωση βαθμού έξι

Re: Εξέταση σε εξίσωση βαθμού έξι

Re: Εξέταση σε εξίσωση βαθμού έξι

Re: Εξέταση σε εξίσωση βαθμού έξι

Re: Εξέταση σε εξίσωση βαθμού έξι

Μέλη σε σύνδεση