Τριώνυμο με φυσικούς συντελεστές

Al.Koutsouridis · #1

Το τριώνυμο x^2+px+q

με μη μηδενικούς φυσικούς συντελεστές δεν έχει ρίζες, αλλά αν αυξήσουμε τα

και

κατά

τότε, εμφανίζονται ρίζες. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του

.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: Παρ Σεπ 20, 2024 9:58 pm Το τριώνυμο με μη μηδενικούς φυσικούς συντελεστές δεν έχει ρίζες, αλλά αν αυξήσουμε τα και κατά τότε, εμφανίζονται ρίζες. Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του .

Απάντηση:

Από τις διακρίνουσες έχουμε $p^2-4q<0,\, (*)$ και $\left ( p+ \dfrac {1}{10} \right )^2- 4\left ( q+ \dfrac {1}{10} \right )\ge 0,\,(**)$ .

Επειδή τα τέλεια τετράγωνα είναι της μορφής

ή της μορφής 4k+1

, από την

έχουμε

είτε 0< 4q-p^2= 4q-4k=4(q-k)

άρα $4q-p^2 \ge 4 \cdot 1=4$ ή 0< 4q-p^2= 4q-4k-1=4(q-k) -1

, οπότε $4q-p^2 \ge 4 \cdot 1-1=3$ . 'Οπως και να είναι, έπεται

$\boxed {4q-p^2 \ge 3}$

Από την (**)

έχουμε τώρα

$p^2+ \dfrac {2p}{10}+ \dfrac {1}{100} \ge 4 q+ \dfrac {4}{10}$ , άρα

$\dfrac {2p}{10} \ge (4 q -p^2)+ \dfrac {4}{10}- \dfrac {1}{100} \ge 3 + \dfrac {4}{10}- \dfrac {1}{100}$ δηλαδή

$2p\ge 34 - \dfrac {1}{10}$

Αλλά ο

είναι φυσικός, άρα $2p \ge 34$ , από όπου $p\ge 17$ .

Μένει να δείξουμε ότι ο p=17

μας κάνει. Πράγματι για q=73

(που είναι ο μικρότερος φυσικός ο οποίος ικανοποιεί την (*)

, εδώ $17^2<4\cdot 73$ ή αλλιώς 289 < 292

) έχουμε στην (**)

$\left ( 17+ \dfrac {1}{10} \right )^2- 4\left ( 73+ \dfrac {1}{10} \right )= \dfrac {129241}{100} - \dfrac {129240}{100} \ge 0$ , όπως θέλαμε.

Τριώνυμο με φυσικούς συντελεστές

Τριώνυμο με φυσικούς συντελεστές

Re: Τριώνυμο με φυσικούς συντελεστές

Μέλη σε σύνδεση