Με δύο τρόπους

KARKAR · #1

Λύστε με δύο τρόπους την εξίσωση : x^4-9x^3+27x^2-36x+18=0

Αν έχετε βρει έναν τρόπο , δημοσιεύστε τον

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 28, 2026 5:57 am Λύστε με δύο τρόπους την εξίσωση :

Αν έχετε βρει έναν τρόπο , δημοσιεύστε τον

Η εξίσωση γράφεται :

${x^4} - 6{x^3} - 3{x^3} + 6{x^2} + 18{x^2} + 3{x^2} - 36x + 18 = 0$

${x^4} - 6{x^3} + 6{x^2} - 3{x^3} + 18{x^2} - 18x + 3{x^2} - 18x + 18 = 0$

${x^2}\left( {{x^2} - 6x + 6} \right) - 3x\left( {{x^2} - 6x + 6} \right) + 3\left( {{x^2} - 6x + 6} \right) = 0$

$\left( {{x^2} - 6x + 6} \right)\left( {{x^2} - 3x + 3} \right) = 0$

Ο πρώτος παράγοντας έχει ρίζες . $x = 3 - \sqrt 3 \,\,,\,\,\,x = 3 + \sqrt 3$ . ο άλλος παράγοντας είναι εξίσωση αδύνατη

στο σύνολο των πραγματικών αριθμών . ( μιγαδικές ρίζες)

Βασικά ψάχνουμε να βρούμε πολυώνυμα $P(x) = {x^2} + ax + b\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Q\left( x \right) = {x^2} + kx + m$ τέτοια ώστε,

${x^4} - 9{x^3} + 27{x^2} - 36x + 18 = P\left( x \right) \cdot Q\left( x \right)$

KARKAR · #3

Δοκιμάστε την αλλαγή μεταβλητής : x=y+1

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιουν 02, 2026 6:20 pm Δοκιμάστε την αλλαγή μεταβλητής :

Θα πάρει την μορφή y^4-5y^3+6y^2-5y+1=0

που είναι αντίστροφη εξίσωση. Mετά από διαίρεση με το y^2

γράφεται

$\displaystyle{\left (y^2+\dfrac {1}{y^2} \right ) -5\left (y+\dfrac {1}{y} \right ) +6=0}$ , ισοδύναμα

$\displaystyle{\left (y+\dfrac {1}{y} \right )^2 -5\left (y+\dfrac {1}{y} \right ) +4=0}$ , ή αλλιώς z^2-5z+4=0

με $z= y+\dfrac {1}{y}$ . Άρα z=4

ή

, οπότε

$\displaystyle{y+\dfrac {1}{y} =4 }$ ή $\displaystyle{y+\dfrac {1}{y} =1}$ , που εύκολα βλέπουμε ότι οδηγεί στις ίδιες ρίζες, δύο πραγματικές, δύο μιγαδικές, που βρήκε ο Νίκος.

add2math · #5

κι ένας τρίτος τρόπος...
Έχουμε :

x^4-9x^3+27x^2-36x+18=0\Leftrightarrow x(x^3-9x^2+27x-36)+18=0\Leftrightarrow x[(x-3)^3-9]+18=0

Θέτουμε

οπότε η εξίσωση γίνεται

(y+3)[y^3-9]+18=0\Leftrightarrow y^4-9y+3y^3-9=0\Leftrightarrow (y^2-3)(y^2+3)+3y((y^2-3)=0 \Leftrightarrow (y^2-3)(y^2+3y+3)=0

,
απ' όπου

y^2-3=0

, (η άλλη παρένθεση είναι πάντα θετική),
άρα

y=\pm\sqrt3\Rightarrow \boxed{x=3\pm\sqrt3}

Με δύο τρόπους

Με δύο τρόπους

Re: Με δύο τρόπους

Re: Με δύο τρόπους

Re: Με δύο τρόπους

Re: Με δύο τρόπους

Μέλη σε σύνδεση