Περίεργη ισότητα γωνιών

KARKAR · #1

: Περίεργη ισότητα γωνιών.png (18.64 KiB) Προβλήθηκε 1204 φορές

Πάνω στην ακτίνα

, ημικυκλίου διαμέτρου

, θεωρούμε σημείο

.

Με κέντρο το

και ακτίνα

, γράφουμε κύκλο , ο οποίος τέμνει

τη διάμετρο στα σημεία N,L

. Δείξτε ότι : $\widehat{ASN}=\widehat{LSB}$ .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 31, 2018 2:08 pm
Περίεργη ισότητα γωνιών.pngΠάνω στην ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρούμε σημείο .

Με κέντρο το και ακτίνα , γράφουμε κύκλο , ο οποίος τέμνει

τη διάμετρο στα σημεία . Δείξτε ότι : $\widehat{ASN}=\widehat{LSB}$ .

Η εφαπτόμενη του ημικυκλίου στο $\displaystyle S$ προφανώς είναι και εφαπτόμενη του κύκλου $\displaystyle \left( K \right)$

Άρα , $\displaystyle \angle xSN = \angle \varphi = \omega + B \Rightarrow \angle xSA + \angle y = \omega + B \Rightarrow B + y = \omega + B \Rightarrow \boxed{y = \omega }$

: p.i.g.png (22.03 KiB) Προβλήθηκε 1186 φορές

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 31, 2018 2:08 pm
Περίεργη ισότητα γωνιών.pngΠάνω στην ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρούμε σημείο .

Με κέντρο το και ακτίνα , γράφουμε κύκλο , ο οποίος τέμνει

τη διάμετρο στα σημεία . Δείξτε ότι : $\widehat{ASN}=\widehat{LSB}$ .

Εστω $\hat{ASN}=\omega ,\hat{LSB}=\phi$

Είναι $\hat{SBL}=\theta=\hat{OSB},\hat{SLB}=\theta +\phi ,\hat{NSO}=90-\theta -\omega=\hat{KNS},$

Οπότε
$\hat{t}=\hat{KLO}=\hat{KNO},t=90-\theta +\omega -(90-\theta -\omega )=2\omega ,(1), t=\theta +\phi -(\theta -\phi )=2\phi ,(2), (1),(2)\Rightarrow 2\omega =2\phi \Leftrightarrow \omega =\phi$

Γιάννης

#4

Από την πιο πάνω απόδειξη του Μιχάλη, προκύπτει ότι η

δεν είναι απαραίτητο να είναι διάμετρος του κύκλου (O)

. Ισχύει το ίδιο αποτέλεσμα, για κάθε χορδή του (O)

που τέμνει τον κύκλο (K)

.

Κώστας Βήττας.

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Ιαν 31, 2018 2:08 pm
Περίεργη ισότητα γωνιών.pngΠάνω στην ακτίνα , ημικυκλίου διαμέτρου , θεωρούμε σημείο .

Με κέντρο το και ακτίνα , γράφουμε κύκλο , ο οποίος τέμνει

τη διάμετρο στα σημεία . Δείξτε ότι : $\widehat{ASN}=\widehat{LSB}$ .

: Περίεργη ισότητα γωνιών.png (23.71 KiB) Προβλήθηκε 1163 φορές

H

είναι διάμετρος του κύκλου κι επειδή $\displaystyle \frac{{PK}}{{KQ}} = 1 = \frac{{AO}}{{OB}} \Leftrightarrow PQ||AB \Leftrightarrow 2\varphi = L\widehat NK = N\widehat LK = 2\omega \Leftrightarrow$ $\boxed{\omega=\varphi}$

#6

Για τη γενική περίπτωση που αναφέρει ο Κώστας. Φέρνω τη διάμετρο PKQ||AB.

: Περίεργη ισότητα γωνιών.png (23.71 KiB) Προβλήθηκε 1124 φορές

Αν

είναι η κοινή εφαπτομένη των δύο κύκλων τότε: $\displaystyle B\widehat AS = B\widehat Sx = E\widehat Sx = E\widehat DS \Leftrightarrow DE||AB$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} P\widehat KN = K\widehat NL = K\widehat LN = Q\widehat KL\\ P\widehat KD = K\widehat DE = K\widehat ED = Q\widehat KE \end{array} \right.$

και με αφαίρεση κατά μέλη $\displaystyle D\widehat KN = E\widehat KL \Leftrightarrow$ $\boxed{\omega=\varphi}$

#7

Στη γενική περίπτωση και από το παρακάνω σχήμα έχουμε :

: Περίεργη ισότητα γωνιών.png (38.25 KiB) Προβλήθηκε 1119 φορές

$\left\{ \begin{gathered} KS = KN \hfill \\ OS = OT \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} \hfill \\ \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}} \Rightarrow \boxed{KN//OT}$ . Ομοίως:

$KZ//OB\;\,\kappa \alpha \iota \,\,KL//OP$ και από το Θ. Θαλή θα έχω:

$\dfrac{{SN}}{{NT}} = \dfrac{{SK}}{{KO}} = \dfrac{{SZ}}{{ZB}} = \dfrac{{SL}}{{LP}} \Rightarrow \boxed{\frac{{SN}}{{NT}} = \frac{{SL}}{{LP}}} \Rightarrow \boxed{NL//TP}$

που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο ABPT

είναι ισοσκελές τραπέζιο και απ αυτό προκύπτει άμεσα το ζητούμενο .

("Παίζει" και με συμμετροδιάμεσο νομίζω .)

Al.Koutsouridis · #8

Μία εναλλακτική δικαιολόγηση είναι, ότι η ομοιοθεσία με κέντρο το

στέλνει τα σημεία N,L

του μικρού κύκλου στα σημεία N{'}, L{'}

του μεγάλου για τα οποία ισχύει NL || N{'}L{'}

και η ζητούμενη ισότητα έπεται.

#9

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 02, 2018 10:00 am
Μία εναλλακτική δικαιολόγηση είναι, ότι η ομοιοθεσία με κέντρο το στέλνει τα σημεία του μικρού κύκλου στα σημεία του μεγάλου για τα οποία ισχύει και η ζητούμενη ισότητα έπεται.

Ακριβώς Αλέξανδρε . Αυτό νομίζω έγινε στην πιο πάνω ανάρτηση .

Περίεργη ισότητα γωνιών

Περίεργη ισότητα γωνιών

Re: Περίεργη ισότητα γωνιών

Re: Περίεργη ισότητα γωνιών

Re: Περίεργη ισότητα γωνιών

Re: Περίεργη ισότητα γωνιών

Re: Περίεργη ισότητα γωνιών

Re: Περίεργη ισότητα γωνιών

Re: Περίεργη ισότητα γωνιών

Re: Περίεργη ισότητα γωνιών

Μέλη σε σύνδεση