Ισογώνιες ευθείες ως προς τις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

#1

: Ισογώνιες ευθείες ως προς τις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου.png (19.39 KiB) Προβλήθηκε 941 φορές

Έστω σημεία επί των καθέτων πλευρών αντίστοιχα ορθογωνίου τριγώνου $\vartriangle ABC$ ώστε $DE\parallel BC$ . Να δειχθεί ότι οι είναι ισογώνιες ως προς τις πλευρές (δηλαδή $\angle PAB=\angle QAC$ ) , όπου $P\equiv BE\cap D{D}',Q\equiv CD\cap E{E}'$ , με τις ορθές προβολές των επί της αντίστοιχα .

Στάθης

S.E.Louridas · #2

Γειά σας. Μία διαπραγμάτευση στο όμορφο αυτό θέμα.

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Έστω σημεία επί των καθέτων πλευρών αντίστοιχα ορθογωνίου τριγώνου $\vartriangle ABC$ ώστε $DE\parallel BC$ . Να δειχθεί ότι οι είναι ισογώνιες ως προς τις πλευρές (δηλαδή $\angle PAB=\angle QAC$ ) , όπου $P\equiv BE\cap D{D}',Q\equiv CD\cap E{E}'$ , με τις ορθές προβολές των επί της αντίστοιχα .

Θεωρούμε το ύψος

του τριγώνου ABC

που τέμνει την

στο

. Θεωρούμε επίσης $PP' \bot AB$ και $QQ' \bot AC.$

Έχουμε $\displaystyle{\frac{{QQ'}}{{DA}} = \frac{{CQ}}{{CD}},\;\,\frac{{AC}}{{AQ'}} = \frac{{DC}}{{DQ}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( \cdot \right)} \;\frac{{QQ'}}{{DA}}\,\frac{{AC}}{{AQ'}} = \frac{{CQ}}{{DQ}} \Rightarrow \frac{{QQ'}}{{AQ'}} = \frac{{CQ}}{{DQ}}\,\frac{{DA}}{{AC}}\;\left( 1 \right).}$ Όμοια παίρνουμε $\displaystyle{\frac{{PP'}}{{AP'}} = \frac{{BP}}{{PE}}\,\frac{{AE}}{{AB}}\;\left( 2 \right).}$

Για να είναι ίσα τα πρώτα μέλη των $\displaystyle{\left( 1 \right),\;\left( 2 \right),}$ αρκεί να ισούνται τα δεύτερα μέλη τους, δηλαδή αρκεί $\displaystyle{\frac{{CE'}}{{BD'}}\,\frac{{DA}}{{AE}}\,\frac{{AB}}{{AC}} = 1,}$ αφού $\displaystyle{\frac{{CQ}}{{DQ}} = \frac{{CE'}}{{D'E'}},\,\;\frac{{BP}}{{PE}} = \frac{{BD'}}{{D'E'}}}$ και $\displaystyle{D'E' = DE.}$
Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα ADE, ABC

είναι όμοια τελικά αρκεί $\displaystyle{\frac{{CE'}}{{BD'}}\,\frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = 1\;\dot \eta \;\frac{{CE'}}{{BE'}}\,\frac{{BH}}{{CH}} = 1\;\dot \eta \;\frac{{CE'}}{{CH}} = \frac{{BE'}}{{BH}}\;\dot \eta \;\frac{{HE'}}{{CH}} = \frac{{HD'}}{{BH}}}$ $\displaystyle{\dot \eta\;\frac{{CH}}{{BH}} = \frac{{FE}}{{FD}}}$ , που ισχύει λόγω της δέσμης.

Άρα πράγματι $\displaystyle{\frac{{QQ'}}{{AQ'}} = \frac{{PP'}}{{AP'}}}$ , επομένως τα ορθογώνια τρίγωνα APP', AQQ'

είναι όμοια και έτσι έχουμε το ζητούμενο.

Ισογώνιες ευθείες ως προς τις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Ισογώνιες ευθείες ως προς τις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Re: Ισογώνιες ευθείες ως προς τις κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση