Ευθεία αποτέμνουσα

#1

: Ευθεία απο περίκεντρο.png (10.7 KiB) Προβλήθηκε 1025 φορές

Έστω

το περίκεντρο τριγώνου ABC

. Να σχεδιάσετε ευθεία δια του

, εις τρόπο ώστε αν τέμνει τις $AB,\,\,AC$ στα $D,\,E$ να είναι BD = 2EC

.

#2

Doloros έγραψε:Ευθεία απο περίκεντρο.png

Έστω το περίκεντρο τριγώνου . Να σχεδιάσετε ευθεία δια του , εις τρόπο ώστε αν τέμνει τις $AB,\,\,AC$ στα $D,\,E$ να είναι .

Καλησπέρα!

: Ευθεία αποτέμνουσα.png (19.28 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

Ανάλυση: Έστω ότι το πρόβλημα λύθηκε και

είναι το δεύτερο κοινό σημείο των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων

ABC, ADE.

Είναι, $D\widehat BP=A\widehat CP, B\widehat DP= C\widehat EP$ (ως παραπληρωματικές ίσων γωνιών), άρα τα τρίγωνα DBP, CEP

είναι όμοια: $\displaystyle{\frac{{PB}}{{PC}} = \frac{{BD}}{{EC}} = 2}$ κι επειδή το

βρίσκεται στον περίκυκλο του σταθερού τριγώνου ABC

και $\displaystyle{\frac{{PB}}{{PC}} = 2},$ το

είναι σταθερό και κατασκευάσιμο (εύκολα με τη βοήθεια του θεωρήματος διχοτόμου). Αρκεί λοιπόν να εντοπιστούν τα σημεία D, E

επί των

ώστε το

να είναι εγγράψιμο. Έστω $\displaystyle{D\widehat AP = \theta \Leftrightarrow D\widehat EP = {180^0} - \theta }$

Κατασκευή: Κατασκευάζω το σημείο

και στη συνέχεια γράφω τόξο χορδής

που δέχεται γωνία $180^0-\theta$ και τέμνει την

στο

Η

τέμνει την

στο άλλο σημείο

#3

Doloros έγραψε:Ευθεία απο περίκεντρο.png

Έστω το περίκεντρο τριγώνου . Να σχεδιάσετε ευθεία δια του , εις τρόπο ώστε αν τέμνει τις $AB,\,\,AC$ στα $D,\,E$ να είναι .

Γεια σας
Νομίζω ότι μπορούμε να έχουμε απάντηση με το

να είναι τυχόν σημείο. Έχουμε ότι AB-AD=2(AC-AE)

και επομένως 2AE-AD=2AC-AB=r

όπου

σταθερό ευθύγραμμο τμήμα. Από το γενικευμένο θεώρημα του McLaurin ξέρουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του ADE

διέρχεται από σταθερό σημείο που μπορούμε να κατασκευάσουμε. Ας το πούμε

. To

κατασκευάζεται αφού αφ' ενός ανήκει στην σταθερή ευθεία

και αφ' ετέρου βλέπει το σταθερό τμήμα

υπό σταθερή γωνία (εκείνη που σχηματίζει η

με την

).

: MCL.png (9.78 KiB) Προβλήθηκε 939 φορές

#4

nsmavrogiannis έγραψε:
Doloros έγραψε:Ευθεία απο περίκεντρο.png

Έστω το περίκεντρο τριγώνου . Να σχεδιάσετε ευθεία δια του , εις τρόπο ώστε αν τέμνει τις $AB,\,\,AC$ στα $D,\,E$ να είναι .
Γεια σας
Νομίζω ότι μπορούμε να έχουμε απάντηση με το να είναι τυχόν σημείο. Έχουμε ότι και επομένως όπου σταθερό ευθύγραμμο τμήμα. Από το γενικευμένο θεώρημα του McLaurin ξέρουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του διέρχεται από σταθερό σημείο που μπορούμε να κατασκευάσουμε. Ας το πούμε . To κατασκευάζεται αφού αφ' ενός ανήκει στην σταθερή ευθεία και αφ' ετέρου βλέπει το σταθερό τμήμα υπό σταθερή γωνία (εκείνη που σχηματίζει η με την ).
MCL.png

Καλό

Ευθεία αποτέμνουσα

Ευθεία αποτέμνουσα

Re: Ευθεία αποτέμνουσα

Re: Ευθεία αποτέμνουσα

Re: Ευθεία αποτέμνουσα

Μέλη σε σύνδεση