Κυκλωτική

#1

Καλές Γιορτές σε όλους!

Από διαγωνισμό.

: Κυκλωτική.png (19.13 KiB) Προβλήθηκε 1113 φορές

Δίνεται κύκλος διαμέτρου

και κέντρου

και μία χορδή

που τέμνει τη διάμετρο στο

ώστε

και

Αν οι περίκυκλοι των τριγώνων OAC, OBD

τέμνονται στο

να δείξετε ότι $O\widehat KM=90^0.$

#2

george visvikis έγραψε: Κυρ Δεκ 24, 2017 11:44 am Καλές Γιορτές σε όλους!

Από διαγωνισμό. Δίνεται κύκλος διαμέτρου και κέντρου και μία χορδή που τέμνει τη διάμετρο στο ώστε και Αν οι περίκυκλοι των τριγώνων τέμνονται στο να δείξετε ότι $O\widehat KM=90^0.$

: κυκλωτική.png (43.19 KiB) Προβλήθηκε 1047 φορές

Έστω $S \equiv AC \cap OK \cap DB$ το ριζικό κέντρο των (ανά δύο τεμνομένων ) κύκλων $\left( {A,C,O} \right),\left( {O,B,D} \right),\left( {A,C,B,D} \right)$ .

Τότε $\angle ACK\mathop = \limits^{A,O,K,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle KOB\mathop = \limits^{O,K,B,D\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }$ $\angle KDB \equiv \angle KDS \Rightarrow C,K,D,S$ ομοκυκλικά.

Είναι $\angle OKD\mathop = \limits^{O,K,B,D\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle OBD\mathop = \limits^{OB = OD = {R_O}}$ $\angle BDO \equiv \angle SDO\mathop \Rightarrow \limits^{\angle DOK \equiv \angle DOS} \vartriangle DOK \sim \vartriangle SOD \Rightarrow$

$\angle ODK = \angle OSD \equiv \angle KSD\mathop = \limits^{K,C,S,D\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }$ $\angle KCD \equiv \angle KCM\mathop \Rightarrow \limits^{\angle ODK = \angle KBO \equiv \angle KBM\left( {K,O,B,D\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \right)}$

$\angle KCM = \angle KBM \Rightarrow K,C,B,M$ ομοκυκλικά άρα

$\angle MKB = \angle MCB \equiv \angle DCB\mathop = \limits^{A,C,B,D\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }$ $\angle BAD\mathop = \limits^{OA = OD = {R_O}} \angle ODA \Rightarrow \boxed{\angle MKB = \angle ODA}:\left( 1 \right)$ .

Αλλά $\boxed{\angle SKB\mathop = \limits^{O,K,B,D\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle BDO}:\left( 2 \right)$ .

Από $\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \angle MKS = \angle ADB\mathop = \limits^{AB\,\,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \tau \rho o\varsigma \,\,\tau o\upsilon \,\,\left( O \right)}$ ${90^0} \Rightarrow MK \bot SK\mathop \Rightarrow \limits^{SK \equiv OK} \boxed{MK \bot OK}$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

: Κυκλωτική.png (32.76 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές

Θεωρούμε κύκλο αντιστροφής τον πορτοκαλί κύκλο.

Ο μπλε και πράσινος κύκλος γίνονται οι ευθείες

και

αντίστοιχα.

Έπεται λοιπόν πως το

πάει στην τομή των

και

αντίστοιχα, έστω στο

. Ξέρουμε πως τα σημεία O, K, K'

είναι συνευθειακά, άρα αρκεί $\widehat{K'KM}=90^o$ .

Είναι γνωστό πως το

ανήκει στην πολική του

. Αυτή η πολική ευθεία λοιπόν είναι η κάθετη από το

στην

και έστω πως τέμνει την

στο

.

Αφού τα

και

είναι "πολικά" συζυγή και είναι συνευθειακά με το

ισχύει από γνωστό λήμμα πως το αντίστροφο του

είναι το

.

Ταυτοχρόνως έχουμε πως το τετράπλευρο KMM'K'

είναι εγγράψιμο τετράπλευρο (ιδιότητα σε αντίστροφα σημεία) και αφού $\widehat{K'M'M}=90^o$ προκύπτει ότι $\widehat{K'KM}=90^o$ .

Κυκλωτική

Κυκλωτική

Re: Κυκλωτική

Re: Κυκλωτική

Μέλη σε σύνδεση