Έξοχη ισότητα

KARKAR · #1

: Έξοχη ισότητα.png (9.5 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Στο εσωτερικό του τεταρτοκυκλικού τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ , βρίσκεται σημείο

.

Εντοπίστε σημείο

στην προέκταση της ακτίνας

, ώστε αν το

είναι το εφαπτόμενο τμήμα , να είναι : PQ=PS

.

#2

Ας είναι

η προβολή του

στην

. Τότε είναι σταθερά :

$\boxed{OK = a\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,KS = b}\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 < a,b < R$ Θέτω $PA = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KA = R - a = m$ .

: ¨εξοχη ισότητητα_ok.png (17.62 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Θα ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} P{S^2} = P{Q^2} = PA(PA + 2R) \hfill \\ P{S^2} = P{K^2} + K{S^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} P{S^2} = x(x + 2R) \hfill \\ P{S^2} = {(m + x)^2} + {b^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα :

$x(x + 2R) = {(x + m)^2} + {b^2} \Rightarrow \boxed{x = \frac{{{{(R - a)}^2} + {b^2}}}{{2a}}}$

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Μαρ 11, 2018 8:09 pm Έξοχη ισότητα.pngΣτο εσωτερικό του τεταρτοκυκλικού τομέα $O\overset{\frown}{AB}$ , βρίσκεται σημείο .

Εντοπίστε σημείο στην προέκταση της ακτίνας , ώστε αν το

είναι το εφαπτόμενο τμήμα , να είναι : .

Με τις συντεταγμένες του σχήματος.

: Έξοχη ισότητα.png (12.21 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές

$\displaystyle {x^2} - {R^2} = P{Q^2} = P{S^2} = {(x - a)^2} + {b^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{x =OP= \frac{{{a^2} + {b^2} + {R^2}}}{{2a}}}$

KARKAR · #4

: Έξοχη ισότητα.png (14.65 KiB) Προβλήθηκε 837 φορές

Κάπως δυσκολότερα αλλά χρησιμοποιώντας μόνο το OS=d

: Έστω ότι

το σχήμα κατασκευάστηκε . Από το

φέρω

κάθετο στην ευθεία

.

Επειδή : PS^2=PQ^2=PO^2-R^2

είναι :

,

δηλαδή : $(x+R-d)^2=(R+x)^2-R^2\Leftrightarrow x=\dfrac{(R-d)^2}{2d}$ .

Στην προέκταση λοιπόν της ακτίνας OSC

, θεωρούμε τμήμα

, μήκους

.

Η κάθετη της

στο

, τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

.

Με γνωστά τα R,d

, πώς θα κατασκευάσουμε το τμήμα $x=\dfrac{(R-d)^2}{2d}$ ;

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 13, 2018 7:59 pm Έξοχη ισότητα.pngΚάπως δυσκολότερα αλλά χρησιμοποιώντας μόνο το : Έστω ότι

το σχήμα κατασκευάστηκε . Από το φέρω κάθετο στην ευθεία .

Επειδή : είναι :

,

δηλαδή : $(x+R-d)^2=(R+x)^2-R^2\Leftrightarrow x=\dfrac{(R-d)^2}{2d}$ .

Στην προέκταση λοιπόν της ακτίνας , θεωρούμε τμήμα , μήκους .

Η κάθετη της στο , τέμνει την στο ζητούμενο σημείο .

Με γνωστά τα , πώς θα κατασκευάσουμε το τμήμα $x=\dfrac{(R-d)^2}{2d}$ ;

: Κατασκευή_χατήρι του Θανάση.png (25.92 KiB) Προβλήθηκε 807 φορές

Στην εφαπτομένη στο

θεωρώ σημείο

, έτσι ώστε CD = SC

.

Στην ημιευθεία

θεωρώ σημείο

, έτσι ώστε CE = 2OS = 2d

.

Η κάθετη στο

επί την

τέμνει την ευθεία

στο

.

Το $\boxed{CT = x = \frac{{{{(R - d)}^2}}}{{2d}}}$ .

Πράγματι επειδή $D{C^2} = CE \cdot CT \Rightarrow {(R - d)^2} = 2dx$ .

Έξοχη ισότητα

Έξοχη ισότητα

Re: Έξοχη ισότητα

Re: Έξοχη ισότητα

Re: Έξοχη ισότητα

Re: Έξοχη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση