Η Κίνα έχει τους λόγους της

[george visvikis]

[attachment=0]Η Κίνα έχει τους λόγους της.png[/attachment]
Έστω το έγκεντρο και το μέσο της πλευράς τριγώνου Η τέμνει τον περίκυκλο

του τριγώνου στο και η την ευθεία στο Να δείξετε ότι

[Διονύσιος Αδαμόπουλος]

Παρατηρούμε πως , οπότε αρκεί .

Αρκεί να αποδειχθεί πως τα τρίγωνα και είναι όμοια.

Παρατηρούμε πως .

Θέλουμε τώρα να αποδείξουμε πως , επομένως αρκεί .

Έστω το σημείο τομής της με την .

Εκτελώντας το θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο με την τέμνουσα συμπεραίνουμε πως:



Για να αποδειχθεί η παραλληλία που επιδιώκουμε αρκεί .

Οπότε αρκεί .

Από εδώ υποθέτω πως θα υπάρχει και πιο σύντομος δρόμος, αλλά μιας και δεν τον βρήκα θα φερθώ "ανορθόδοξα".

Έστω το παράκεντρο της κορυφής .

Λόγω του ότι η διχοτομεί την και , έχουμε πως η τετράδα είναι αρμονική.

Ξέρουμε ακόμα πως το είναι το μέσο του (κλασσικό λήμμα).

Ισχύουν δύο σχέσεις σε αρμονικές που σχετίζονται με μέσο:

(η Newton)
(δεν έχει όνομα, αλλά είναι κλασσική πρόταση που αποδεικνύεται μάλιστα από την Newton)

(Στην πραγματικότητα δεν χρειάστηκα ουσιαστικά το παράκεντρο, απλά με την βοήθεια του έφτασα σε αυτές τις δύο σχέσεις )

Χρησιμοποιώντας την πρώτη δύο φορές συνεχόμενα παίρνουμε πως

Από τη δεύτερη σχέση όμως παίρνουμε πως . Άρα τελικά και το ζητούμενο αποδείχθηκε!

Μπορεί να βάλω πιο μετά το σχήμα!