Ισοδυναμία 2

KARKAR · #1

: Ισοδυναμία 2.png (13.54 KiB) Προβλήθηκε 1041 φορές

Οι ίσοι κύκλοι (O)

και

εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο

. Ευθεία διερχόμενη

από το αντιδιαμετρικό

του

του κύκλου (O)

και από το βόρειο πόλο του

του

,

τέμνει τους κύκλους και στα σημεία S,P

. Εξετάστε αν είναι : (AST)=(SPKT)

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:43 pm
Ισοδυναμία 2.pngΟι ίσοι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Ευθεία διερχόμενη

από το αντιδιαμετρικό του του κύκλου και από το βόρειο πόλο του του ,

τέμνει τους κύκλους και στα σημεία . Εξετάστε αν είναι : .

: Ισοδυναμία.2.png (18.61 KiB) Προβλήθηκε 1031 φορές

$(AST)=(SPKT)=\dfrac{3R^2}{5}$

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης (30/7/2018, 9:04 π.μ)

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:43 pm
Ισοδυναμία 2.pngΟι ίσοι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Ευθεία διερχόμενη

από το αντιδιαμετρικό του του κύκλου και από το βόρειο πόλο του του ,

τέμνει τους κύκλους και στα σημεία . Εξετάστε αν είναι : .

Είναι $\displaystyle \frac{{\left( {AST} \right)}}{{\left( {STK} \right)}} = \frac{{AT}}{{TK}} = 2 \Rightarrow \left( {AST} \right) = 2\left( {STK} \right)$ .

Αλλά $\displaystyle \angle TPN = {135^0} \Rightarrow \angle SPT = {45^0} \Rightarrow SP = ST$ .

Άρα $\displaystyle \vartriangle STK = \vartriangle SPK \Rightarrow \left( {STK} \right) = \left( {SPK} \right)$ .Έτσι, $\displaystyle \boxed{\left( {STKP} \right) = 2\left( {STK} \right) = \left( {AST} \right)}$

: ισοδυμαμία2.png (17.92 KiB) Προβλήθηκε 1010 φορές

#4

Αν

το μέσον της

τότε έχουμε την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $AKN \approx AST \approx KMN$ . Οι υποτείνουσές τους είναι αντίστοιχα $\sqrt {10}R$ (διότι AK=3R, KN=R

),

και

. Άρα $(AST) = \frac {4}{10} (AKN)$ και $(MKN) = \frac {1}{10} (AKN)$ . Έτσι

(SPKT) = (AKN) - (AST)-(PKN) = (AKN) - (AST)-2(MKN)=

$=(AKN)- \frac {4}{10} (AKN)- \frac {2}{10} (AKN)= \frac {4}{10} (AKN) =(AST)$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:43 pm
Ισοδυναμία 2.pngΟι ίσοι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Ευθεία διερχόμενη

από το αντιδιαμετρικό του του κύκλου και από το βόρειο πόλο του του ,

τέμνει τους κύκλους και στα σημεία . Εξετάστε αν είναι : .

: Ισοδυναμία.2.png (19.78 KiB) Προβλήθηκε 970 φορές

Με Π. Θ, $\displaystyle AN = R\sqrt {10} .$ Αλλά, $\displaystyle AP \cdot AN = AT \cdot AQ = 8{R^2} \Leftrightarrow AP \cdot R\sqrt {10} = 8{R^2} \Leftrightarrow AP = \frac{{8R}}{{\sqrt {10} }}$

$\displaystyle (AKP) = \frac{1}{2}AP \cdot AK\sin \varphi = \frac{{6{R^2}}}{5},$ $\displaystyle (AST) = \frac{1}{2}AS \cdot AT\sin \varphi = \frac{1}{2}(2R\cos \varphi )(2R\sin \varphi ) = \frac{{3{R^2}}}{5}$

και το ζητούμενο έπεται.

S.E.Louridas · #6

Ας έρθω και εγώ με την ημέτερη άποψη στην όμορφη αυτή παρέα.

Παρατηρούμε ότι:
$\angle SKT = \angle SNT = \angle PLT \Rightarrow SK\parallel PL \Rightarrow$ $\left( {SPK} \right) = \left( {SLK} \right) \Rightarrow \left( {STKP} \right) = \left( {STL} \right) = \left( {SAT} \right).$

: ισοδ.png (50.53 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

Ισοδυναμία 2

Ισοδυναμία 2

Re: Ισοδυναμία 2

Re: Ισοδυναμία 2

Re: Ισοδυναμία 2

Re: Ισοδυναμία 2

Re: Ισοδυναμία 2

Μέλη σε σύνδεση