Σταθερός λόγος ακτίνων

#1

: Σταθερός λόγος ακτίνων.png (16.35 KiB) Προβλήθηκε 1727 φορές

Έστω

μία σταθερή χορδή ενός κύκλου ακτίνας

και ένα μεταβλητό σημείο της

α) Να κατασκευάσετε δύο κύκλους (K_1)

,

που να εφάπτονται στη χορδή

στο

και εσωτερικά στο έλασσον και αντίστοιχα στο μείζον τόξο $\overset\frown{AB}.$

β) Αν r_1, r_2

είναι οι ακτίνες αυτών των κύκλων, να δείξετε ότι ο λόγος $\dfrac{r_1}{r_2}$ είναι σταθερός, ανεξάρτητος της θέσης του

επί της

#2

: Σταθερός λόγος ακτίνων.png (26.48 KiB) Προβλήθηκε 1704 φορές

Από σημείο

της προέκτασης της

φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα $SC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD$ .

ΟΙ τομές των ακτίνων $OC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OD$ με τις διχοτόμους των $\widehat {CSA}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {ASD}$ μας δίδουν τα δύο κέντρα

$\boxed{\frac{{{K_1}P}}{{{K_2}P}} = \frac{{R - d}}{{R + d}}}$ . Όπου

η ακτίνα του κύκλου και

το απόστημα προς τη χορδή

Altrian · #3

Για την κατασκευή:
Φέρνουμε την διάμετρο $\large MN$ που είναι κάθετη στην δοσμένη χορδή $\large AB$ .
Οι $\large MP,NP$ τεμνουν τον κύκλο στα $\large F,S$ αντίστοιχα. Οι $\large OF,OS$ τέμνουν την κάθετη προς την $\large AB$ από το $\large P$ στα $\large K_{2},K_{1}$ αντίστοιχα
που είναι τα ζητούμενα κέντρα των δύο κύκλων.
Η απόδειξη προκύπτει από την ισότητα των γωνιών του σχήματος (αν βρω χρόνο και δεν απαντηθεί θα γράψω και την τεκμηρίωση).

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

#4

Από σημείο

της προέκτασης της

φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα $SC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD$ .

ΟΙ τομές των ακτίνων $OC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OD$ με τις διχοτόμους των $\widehat {CSA}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {ASD}$ μας δίδουν τα δύο κέντρα

$\boxed{\frac{{{K_1}P}}{{{K_2}P}} = \frac{{R - d}}{{R + d}}}$ με

η ακτίνα του κύκλου και

το απόστημα προς τη χορδή

Απόδειξη

Το πρώτο προφανές αφού κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει των πλευρών της

Το μετρικό μέρος τώρα

: Σταθερός λόγος ακτίνων_με αντιστροφή.png (45.68 KiB) Προβλήθηκε 1637 φορές

Φέρνω τη διάμετρο $IJ \bot AB$ .

Η αντιστροφή με πόλο

και δύναμη αντιστροφής ${u^2} = S{C^2} = S{D^2}$ αφήνει αναλλοίωτους και τους τρεις κύκλους $(O,R)\,\,\,,\,\,({K_1},{r_1})\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,({K_2},{r_2})$

Ενώ η αντιστροφή με τον ίδιο πόλο και την ίδια δύναμη της ευθείας

την μετασχηματίζει και κύκλο που διέρχεται από τον πόλο

με αντιδιαμετρικό

Το σημείο

που συντρέχουν οι $J{K_1}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,I{K_2}$ .

Από τη δέσμη ευθειών έχω : $\boxed{\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{{K_1}P}}{{{K_2}P}} = \frac{{MJ}}{{MI}} = \frac{{R - d}}{{R + d}}}$

Προτίθεμαι να ανεβάσω, αργότερα, δυναμικό αρχείο αλλά με άλλο λογισμικό ()
.

Al.Koutsouridis · #5

george visvikis έγραψε: Δευ Ιαν 14, 2019 11:13 am Σταθερός λόγος ακτίνων.png
Έστω μία σταθερή χορδή ενός κύκλου ακτίνας και ένα μεταβλητό σημείο της

α) Να κατασκευάσετε δύο κύκλους , που να εφάπτονται στη χορδή στο και εσωτερικά στο έλασσον και αντίστοιχα στο μείζον τόξο $\overset\frown{AB}.$

β) Αν είναι οι ακτίνες αυτών των κύκλων, να δείξετε ότι ο λόγος $\dfrac{r_1}{r_2}$ είναι σταθερός, ανεξάρτητος της θέσης του επί της

: statheros_logos_aktinwn.png (38.33 KiB) Προβλήθηκε 1609 φορές

α) Έστω

η μεσοκάθετος της δοσμένης χορδής (

το μέσο της, A,B

ανήκουν στο κύκλο κέντρου

). Έστω

το σημείο τομής της ευθείας

με το κύκλο ακτίνας

και $K_{1}$ το σημείο τομής της ακτίνας

με την κάθετη από το σημείο

προς τη δοσμένη χορδή. Κατασκευάζουμε τον κύκλο κέντρου $K_{1}$ και ακτίνας $Κ_{1}Ε$ . Ο κύκλος αυτός εφάπτεται του κύκλου ακτίνας

, στο σημείο

.

Έστω $P^{\prime}$ το σημείο τομής της ευθείας

με το κύκλο κέντρου $K_{1}$ . Λόγω ομοιoθεσίας θα έχουμε

$\dfrac{K_{1}E}{R} = \dfrac{P^{\prime}E}{BE} \Rightarrow K_{1}P^{\prime} || OB$ , $K_{1}P^{\prime} \perp ZP$ . Άρα θα είναι και $\dfrac{K_{1}P^{\prime}}{R} = \dfrac{K_{1}E}{R} \Rightarrow K_{1}E= K_{1}P^{\prime}$ . Στον ίδιο λόγο όμως χωρίζει και το σημείο

την

. Έπομένως τα σημεία

και $P^{\prime}$ ταυτίζονται και ο κύκλος κέντρου $K_{1}$ και ακτίνας $K_{1}E$ είναι ο ζητούμενος. Ομοίως κατασκευάζεται και ο δεύτερος κύκλος.

β) Έστω

το σημείο επαφής του κύκλου κέντρου $K_{2}$ με το κύκλο ακτίνας

και

το σημείο τομής των ευθειών

και

. Τότε το σημείο

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC

. Για το ζητούμενο λόγο των ακτινών έχουμε διαδοχικά.

$\displaystyle \dfrac{r_{1}}{r_{2}} = \dfrac{\dfrac{r_{1}}{R}}{\dfrac{r_{2}}{R}} = \dfrac{\dfrac{PE}{BE}}{ \dfrac{PD}{AD}} = \dfrac{PE \cdot AD}{ BE \cdot PD} = \dfrac{PE}{PD} \cdot \dfrac{AD}{DE}$

Η τελευταία ισότητα λόγω των ομοίων ορθογώνιων τριγώνων $APE \sim BPD$ και $ADC \sim BEC$ γίνεται

$\displaystyle \dfrac{PE}{PD} \cdot \dfrac{AD}{DE} = \dfrac{AE}{DB} \cdot \dfrac{CD}{EC} = \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DB}$

Από το θεώρημα Ceva όμως, ισχύει

$\displaystyle \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DB} \cdot \dfrac{BZ}{ZA} =1 \Rightarrow$

$\displaystyle \dfrac{r_{1}}{r_{2} }= \dfrac{AE}{EC} \cdot \dfrac{CD}{DB} = \dfrac{ZA}{BZ} = const.$

Altrian · #6

Επανέρχομαι ολοκληρωμένα.
Για την κατασκευή:
Φέρνουμε την διάμετρο $\large MN$ που είναι κάθετη στην δοσμένη χορδή $\large AB$ .
Οι $\large MP,NP$ τεμνουν τον κύκλο στα $\large F,S$ αντίστοιχα. Οι $\large OF,OS$ τέμνουν την κάθετη προς την $\large AB$ από το $\large P$ στα $\large K_{2},K_{1}$ αντίστοιχα που είναι τα ζητούμενα κέντρα των δύο κύκλων.

Απόδειξη κατασκευής:
Ο κύκλος $\large \left ( K_{2},K_{2}F \right )$ διέρχεται επίσης από το $\large P$ λόγω του ότι $\large K_{2}P=K_{2}F$ . Η ακτίνα $\large K_{2}P$ είναι εκ κατασκευής κάθετη στην $\large AB$ άρα ο κύκλος $\large \left ( K_{2},K_{2}P \right )$
εφάπτεται στην $\large AB$ εφάπτεται στην $\large AB$ . Ομοίως και για τον πάνω κύκλο.

Ο λόγος $\large r_{1}/r_{2}$ :
Προεκτείνουμε τις $\large MS,NF$ που τέμνονται στο $\large Q$ . Το $\large P$ είναι το ορθόκεντρο του $\large \bigtriangleup MNQ$ , άρα το $\large Q$ βρίσκεται πάνω στην $\large AB$ .
Η προέκταση του $\large PK_{1}$ τέμνει την $\large MS$ έστω στο $\large D$ . Ισχύει ότι: $\large \angle PDS=\angle NMS=90-\angle MNS=90-\angle DPS\Rightarrow \angle PDS+\angle DPS=90$ άρα το $\large D$ είναι σημείο του κύκλου $\large \left ( K_{1},P \right )$ .
Από ομοιοθεσία με κέντρο $\large Q$ έχουμε: $\large \frac{MZ}{ZN}=\frac{PD}{PE}=\frac{2r_{1}}{2r_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}=ct$

Αλέξανδρος Τριανταφυλλάκης

#7

Ευχαριστώ τον Νίκο Φραγκάκη, τον Αλέξανδρο Τριανταφυλλάκη και τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τις πολύ ωραίες κατασκευές και λύσεις τους. Ας δούμε λίγο διαφορετικά το υπολογιστικό κομμάτι.

: Σταθερός λόγος ακτίνων.β.png (17.81 KiB) Προβλήθηκε 1526 φορές

Έστω

το απόστημα της χορδής

και

Τότε με Πυθαγόρειο στο OHK_1

έχουμε:

$\displaystyle {(R - {r_1})^2} = {x^2} + {({r_1} + d)^2} \Leftrightarrow {r_1} = \frac{{{R^2} - ({x^2} + {d^2})}}{{2(R + d)}} = \frac{{{R^2} - ({x^2} + {d^2})}}{{2(R + d)}} = \frac{{{R^2} - O{P^2}}}{{2(R + d)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{{r_1} = \frac{{AP \cdot PB}}{{2(R + d)}}}$

Με αντίστοιχο τρόπο βρίσκω $\displaystyle {r_2} = \frac{{AP \cdot PB}}{{2(R - d)}},$ οπότε $\boxed{\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{R - d}}{{R + d}}}$

#8

george visvikis έγραψε: Τετ Ιαν 16, 2019 11:30 am Ευχαριστώ τον Νίκο Φραγκάκη, τον Αλέξανδρο Τριανταφυλλάκη και τον Αλέξανδρο Κουτσουρίδη για τις πολύ ωραίες κατασκευές και λύσεις τους. Ας δούμε λίγο διαφορετικά το υπολογιστικό κομμάτι. Σταθερός λόγος ακτίνων.β.png
Έστω το απόστημα της χορδής και Τότε με Πυθαγόρειο στο έχουμε:

$\displaystyle {(R - {r_1})^2} = {x^2} + {({r_1} + d)^2} \Leftrightarrow {r_1} = \frac{{{R^2} - ({x^2} + {d^2})}}{{2(R + d)}} = \frac{{{R^2} - ({x^2} + {d^2})}}{{2(R + d)}} = \frac{{{R^2} - O{P^2}}}{{2(R + d)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{{r_1} = \frac{{AP \cdot PB}}{{2(R + d)}}}$

Με αντίστοιχο τρόπο βρίσκω $\displaystyle {r_2} = \frac{{AP \cdot PB}}{{2(R - d)}},$ οπότε $\boxed{\frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} = \frac{{R - d}}{{R + d}}}$

Ωραίος ο υπολογισμός της ακτίνας του κάθε κύκλου που έχει σαν συνέπεια τον απλό υπολογισμό του λόγου των ακτίνων

Βάζω και το δυναμικό αρχείο που είχα υποσχεθεί ( με Geogebra

)

Σταθερός λόγος ακτίνων

Σταθερός λόγος ακτίνων

Re: Σταθερός λόγος ακτίνων

Re: Σταθερός λόγος ακτίνων

Re: Σταθερός λόγος ακτίνων

Re: Σταθερός λόγος ακτίνων

Re: Σταθερός λόγος ακτίνων

Re: Σταθερός λόγος ακτίνων

Re: Σταθερός λόγος ακτίνων

Μέλη σε σύνδεση