Επαφή με σταθερή ευθεία

#1

: Επαφή με σταθερή ευθεία.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 934 φορές

Σε ευθεία δίδονται κατά σειρά τα σταθερά σημεία A,B,C

. Γράφω το κύκλο (C)

διαμέτρου

και κέντρου

.

Σημείο

κινείται στον κύκλο (C)

και για κάθε

θεωρώ το σημείο

που ορίζεται από τη σχέση : $AM \cdot AD = AO \cdot AC = {k^2}$ .

Η εφαπτομένη του κύκλου (C)

στο σημείο

, θεωρώ ότι τέμνει την ευθεία $\overline {ABC}$ στο σημείο

και ο κύκλος $(K) \to$ (M,D,E)

την επανατέμνει στο σημείο

.

Να δειχθεί ότι ο κύκλος $(L) \to (A,D,Z)$ εφάπτεται σταθερής ευθείας.

#2

Doloros έγραψε: Τρί Φεβ 26, 2019 12:56 pm Επαφή με σταθερή ευθεία.png

Σε ευθεία δίδονται κατά σειρά τα σταθερά σημεία . Γράφω το κύκλο διαμέτρου και κέντρου .

Σημείο κινείται στον κύκλο και για κάθε θεωρώ το σημείο που ορίζεται από τη σχέση : $AM \cdot AD = AO \cdot AC = {k^2}$ .

Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο , θεωρώ ότι τέμνει την ευθεία $\overline {ABC}$ στο σημείο και ο κύκλος $(K) \to$ την επανατέμνει στο σημείο .

Να δειχθεί ότι ο κύκλος $(L) \to (A,D,Z)$ εφάπτεται σταθερής ευθείας.

: Επαφή με σταθερή ευθεία.png (30.73 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές

Από τη σχέση $\displaystyle AM \cdot AD = AO \cdot AC,$ το OMDC

είναι εγγράψιμο και $\displaystyle \widehat C = A\widehat MO = \widehat A \Leftrightarrow$ $\boxed{DA=DC}$

Από το εγγεγραμμένο ZMDE,

$\displaystyle M\widehat DZ = M\widehat EZ = M\widehat EO = 90^\circ - E\widehat OM = 90^\circ - (180^\circ - M\widehat DC) =$

$\displaystyle M\widehat DC - 90^\circ \Leftrightarrow M\widehat DC - M\widehat DZ = 90^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{Z\widehat DC=90^\circ}$ Αν λοιπόν

είναι το μέσο του

τότε $DN\bot AC$

και $\displaystyle \widehat C = Z\widehat DN = \widehat A,$ οπότε ο κύκλος $(L) \to (A,D,Z)$ εφάπτεται στη μεσοκάθετο του AC.

Επαφή με σταθερή ευθεία

Επαφή με σταθερή ευθεία

Re: Επαφή με σταθερή ευθεία

Μέλη σε σύνδεση