Σε ίσους λόγους

#1

: Στον ίδιο λόγο.png (27.38 KiB) Προβλήθηκε 865 φορές

Έστω κυρτό τετράπλευρο με κάθετες μεταξύ τους διαγώνιες που τέμνονται στο σημείο . Αν είναι τα σημεία τομής των εκ του καθέτων επί τις με τις αντίστοιχα, να δειχθεί ότι $\dfrac{AP}{PC}=\dfrac{BQ}{QD}$ , όπου τα σημεία τομής της με τις αντίστοιχα

Στάθης

#2

Είναι προφανείς οι ισοότητες : $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}\,\,,\,\,\,\widehat x = \widehat y$ και άρα $\widehat z = \widehat w$ οπότε:

$\vartriangle KBS \approx \vartriangle LSC \Rightarrow KB \cdot LC = KS \cdot LS\,\,\,(1)$ .

Από Θ. Μενελάου στα τρίγωνα $ASB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CSD\,\,$ με διατέμνουσες $\overline {KPS} \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\overline {LQP}$ έχω :

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{AP}}{{PS}} \cdot \frac{{SQ}}{{QB}} \cdot \frac{{BK}}{{KA}} = 1 \hfill \\ \frac{{CP}}{{PS}} \cdot \frac{{SQ}}{{QD}} \cdot \frac{{DL}}{{LC}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{AP}}{{QB}} = \frac{{KA}}{{KB}} \cdot \frac{{SP}}{{SQ}} \hfill \\ \frac{{CP}}{{QD}} = \frac{{PS}}{{QS}} \cdot \frac{{LC}}{{LD}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: σε ίσους λόγους.png (21.57 KiB) Προβλήθηκε 828 φορές

Αρκεί τώρα να δείξουμε ότι τα δεύτερα μέλη των πιο πάνω είναι ίσα δηλαδή :

$\dfrac{{KA}}{{KB}} = \dfrac{{LC}}{{LD}} \Leftrightarrow KA \cdot LD = KB \cdot LC\,\,\,(2)$ .

Αλλά $\dfrac{{KA}}{{SL}} = \dfrac{{KS}}{{DL}} \Leftrightarrow KA \cdot DL = KS \cdot LS\,\,\,(3)$ , γιατί $\vartriangle KAS \approx \vartriangle LSD$

Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι τα δεύτερα μέλη των $(2)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3)$ είναι ίσα

που ισχύει λόγω της (1)

και το ζητούμενο αποδείχτηκε .

#3

Καλησπέρα σε όλους. Η παρακάτω ισότητα μπορεί εύκολα να αποδειχθεί αν παρακολουθείτε τα πολύ πρόσφατα ίχνη των γεωμετρών μας. (Αρκεί να ξεφυλλίσετε μια δυο σελίδες).

Με τα δεδομένα της αρχικής εκφώνησης του Στάθη, να αποδειχθεί ότι ισχύει και η ισότητα:

$\displaystyle \frac{{AP \cdot AK}}{{PC \cdot KB}} = \frac{{BQ \cdot CL}}{{QD \cdot LD}}$

#4

Για να μην μείνει αναπάντητο.

Πολλαπλασίασα απλώς τους λόγους από την άσκηση του Στάθη με τους λόγους από το Λήμμα του Κώστα Βήττα ΕΔΩ.

Απλώς ήθελα να σημειώσω ότι οι εκφωνήσεις των δύο θεμάτων είναι ίδιες και ήθελα έτσι να συνδέσω τα δύο θέματα, φέρνοντας ξανά προσκήνιο τις εξαιρετικές επινοήσεις των Γεωμετρών μας που βρίσκουν διεθνή αναγνώριση.

Σε ίσους λόγους

Σε ίσους λόγους

Re: Σε ίσους λόγους

Re: Σε ίσους λόγους

Re: Σε ίσους λόγους

Μέλη σε σύνδεση