Παραλληλία με ορθόκεντρο

[george visvikis]

Παραλληλία με ορθόκεντρο.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 1050 φορές

είναι τα ύψη τριγώνου με ορθόκεντρο και περίκεντρο

Η κάθετη από το στην τέμνει την στο Να δείξετε ότι

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Παραλληλία με ορθόκεντρο.png
είναι τα ύψη τριγώνου με ορθόκεντρο και περίκεντρο

Η κάθετη από το στην τέμνει την στο Να δείξετε ότι

Έστω τα σημεία τομής της με τις πλευρές του εγγεγραμμένου τετραπλεύρου .

Με από το Θεώρημα της Πεταλούδας προκύπτει ότι το μέσο της . Επίσης (γνωστή πρόταση : Τα συμμετρικά του ορθοκέντρου τριγώνου ως προς τις πλευρές του είναι σημεία του περιγεγραμμένου του κύκλου) το μέσο της , άρα παραλληλόγραμμο.

Παραλληλία και ορθόκεντρο.png (32.26 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

Αν τότε με συνευθειακά από το Θεώρημα Desargues προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι προοπτικά δηλαδή οι ευθείες που συνδέουν τις ομόλογες κορυφές τους είναι συγκλίνουσες και ας είναι και έστω . Με ή

Από το πλήρες τετράπλευρο προκύπτει ότι η σειρά είναι αρμονική (κάθε διαγώνιος πλήρους τετραπλεύρου τέμνεται αρμονικά από τις άλλες δύο) , άρα και η δέσμη , δηλαδή η δέσμη είναι αρμονική και με το μέσο της (λόγω της σχέσης ) θα είναι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

[Doloros]

Παραλληλία με ορθόκεντρο.png (69.27 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές

Έστω το μέσο του και η τομή της με την . Από το Θ. , .

Έστω ακόμη το μέσο του και τα κέντρα του κύκλου του και του κύκλου .

Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο ( ως άσκηση, έχει απλή λύση) . Η διάκεντρος είναι κάθετη στην κοινή χορδή άρα παράλληλη στην .

Το είναι το μέσο του το είναι το μέσο της διαμέτρου άρα

Λήμμα _για Παραλλήλία και ορθόκεντρο.png (32.45 KiB) Προβλήθηκε 885 φορές