Feuerbach πάνω στην διχοτόμο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA233=FB3311.jpg (21.53 KiB) Προβλήθηκε 1178 φορές

Δείξτε ότι, σε σκαληνό τρίγωνο ABC

,

$\hat{A}=60^o$ , τότε και μόνο τότε αν, το σημείο Feuerbach

του

ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$

#2

sakis1963 έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 15, 2019 10:48 pm
GEOMETRIA233=FB3311.jpg

Δείξτε ότι, σε σκαληνό τρίγωνο ,

$\hat{A}=60^o$ , τότε και μόνο τότε αν, το σημείο του ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$

Καλησπέρα Σάκη,

Έχω την εντύπωση ότι το πρόβλημα είναι ιδιαίτερα εύκολο. Βέβαια καλό είναι που βρίσκεται σε έναν τέτοιο φάκελο μιας και αναφέρεται στο σημείο Feuerbach

. Θα το αφήσω να το δουν και οι μαθητές μας και θα επανέλθω αύριο αν δεν απαντηθεί

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

sakis1963 έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 15, 2019 10:48 pm
GEOMETRIA233=FB3311.jpg

Δείξτε ότι, σε σκαληνό τρίγωνο ,

$\hat{A}=60^o$ , τότε και μόνο τότε αν, το σημείο του ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας $\hat{A}$

Καλημέρα ,

Θα δείξω ότι εάν το σημείο Feuerbach

ανήκει στην διχοτόμο τότε $\hat{A}=60^{\circ}$
Απόδειξη:
Σε αυτή την περίπτωση η κορυφή

,το

,το έκκεντρο

και το κέντρο του κύκλου του Euler

είναι συνευθειακά.
Έστω

το μέσο της

και

ύψος.Τα τρίγωνα ANE,AME

έχουν

κοινή

και $\angle NAE=\angle EAM$ άρα ίσα από το έμμεσο κριτήριο και έτσι AN=AM=MN

άρα $\hat{A}=60^{\circ}$

: 101.PNG (34.34 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη τώρα θα δείξω ότι αν $\hat{A}=60^{\circ}$ τότε το σημείο Feuerbach

ανήκει στην διχοτόμο ή ισοδύναμα ότι το σημείο τομής της διχοτόμου με τον έγκυκλο ανήκει στον κύκλο του Euler

.
Απόδειξη:
Έστω

μέσο της $AC,\,\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\,CN ,BK$ ύψη.Εύκολα προκύπτει ότι

μέσο του

και

ισόπλευρο.
Αρκεί να δείξω ότι NMKF

εγγράψιμο,είναι $MF//IC\Leftrightarrow \angle AMF=\dfrac{\angle C}{2}$
Όμως $\angle KNA=\angle C\Leftrightarrow \angle KNF=\angle C-\angle FNA=\angle C-\angle AMF=\dfrac{\angle C}{2}=\angle AMF$ και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

: 102.PNG (34.05 KiB) Προβλήθηκε 963 φορές

Feuerbach πάνω στην διχοτόμο

Feuerbach πάνω στην διχοτόμο

Re: Feuerbach πάνω στην διχοτόμο

Re: Feuerbach πάνω στην διχοτόμο

Μέλη σε σύνδεση