Εφαπτομένη και τμήμα

KARKAR · #1

: Εφαπτομένη και τμήμα.png (20.36 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r

, το

είναι το μέσο της

. Τα

είναι σημεία του τόξου και της

αντίστοιχα , ώστε $TS=\dfrac{9r}{16}$ και $TS \perp OB$ . Το ημικύκλιο διαμέτρου

, τέμνει το αρχικό στο σημείο

.

Το

τέλος , είναι σημείο του

, ώστε : $QT \parallel AB$ . Υπολογίστε την $\tan \widehat{TMP}$ , καθώς και το τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 03, 2020 1:22 pm Εφαπτομένη και τμήμα.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , το είναι το μέσο της . Τα είναι σημεία του τόξου και της

αντίστοιχα , ώστε $TS=\dfrac{9r}{16}$ και $TS \perp OB$ . Το ημικύκλιο διαμέτρου , τέμνει το αρχικό στο σημείο .

Το τέλος , είναι σημείο του , ώστε : $QT \parallel AB$ . Υπολογίστε την $\tan \widehat{TMP}$ , καθώς και το τμήμα .

Έστω

Προφανώς το QTNM

είναι παραλληλόγραμμο, $\displaystyle MO = ON = \frac{r}{2}$ και $\boxed{QT=MN=r}$

: Εφαπτομένη και τμήμα.png (19.15 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές

$\displaystyle AS \cdot SB = \frac{{81{r^2}}}{{256}} \Leftrightarrow {r^2} - O{S^2} = \frac{{81{r^2}}}{{256}} \Leftrightarrow OS = \frac{{5r\sqrt 7 }}{{16}}$ και

$\boxed{NS = OS - \frac{r}{2} = \frac{{r}}{{16}}(5\sqrt 7 - 8)}$ $\boxed{MS = OS + \frac{r}{2} = \frac{{r}}{{16}}(5\sqrt 7 + 8)}$

$\displaystyle \tan \omega = \frac{{TS}}{{NS}} = \frac{9}{{5\sqrt 7 - 8}},\tan \varphi = \frac{{TS}}{{MS}} = \frac{9}{{5\sqrt 7 + 8}} \Rightarrow \tan \theta = \frac{{\frac{9}{{5\sqrt 7 - 8}} - \frac{9}{{5\sqrt 7 + 8}}}}{{1 + \frac{9}{{5\sqrt 7 - 8}} \cdot \frac{9}{{5\sqrt 7 + 8}}}}$

και τελικά $\boxed{\tan \theta=\frac{3}{4}}$

#3

Φέρνω απ’ το

παράλληλη στην

και τέμνει τη διάμετρο στο

.

β) Προφανώς από το παραλληλόγραμμο QMZT

θα έχω:

$\boxed{QT = MZ = MO + OZ = \frac{r}{2} + \frac{r}{2} = r}$ .

α) Προφανώς το αντιδιαμετρικό, ας το πούμε

, του

θα ανήκει στην

( $\widehat {{P_{}}}$ , ορθή γάρ ). Θέτω: $PT = 2x\,\,,\,\,PM = y\,\,,\,\,ME = u$

: Εφαπτομένη και τμήμα_2.png (30.69 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές

Θα ισχύουν ταυτόχρονα: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} MP \cdot ME = MA \cdot MB \hfill \\ \left( {TOZ} \right) = \left( {EOM} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} yu = \frac{r}{2} \cdot \frac{{3r}}{2} \hfill \\ \left( {EOM} \right) = \left( {TOZ} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} yu = \frac{{3{r^2}}}{4} \hfill \\ ux = \frac{r}{2} \cdot \frac{{9r}}{{16}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Με διαίρεση κατά μέλη έχω: $\boxed{\frac{y}{x} = \frac{{3 \cdot 32}}{{4 \cdot 9}} \Rightarrow \frac{{2x}}{y} = \frac{{2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3}}{{3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4}} = \frac{3}{4} = \frac{{PT}}{{PM}} = \tan \theta }$

Εφαπτομένη και τμήμα

Εφαπτομένη και τμήμα

Re: Εφαπτομένη και τμήμα

Re: Εφαπτομένη και τμήμα

Μέλη σε σύνδεση