Ριζικό κέντρο πάνω στην ευθεία Euler!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #1

Έστω τρίγωνο $\rm ABC$ και $\rm A_1,B_1,C_1$ τα μέσα των τμημάτων $\rm BC,AC,AB$ αντίστοιχα.
Θεωρούμε τους κύκλους $\rm (A,AA_1),(B,BB_1),(C,CC_1)$ .
Να δείξετε ότι το ριζικό κέντρο των τριών αυτών κύκλων ανήκει στην ευθεία $\rm Euler$ του $\rm ABC$ .

: 328.PNG (47.48 KiB) Προβλήθηκε 1015 φορές

giannisd · #2

Μια λύση με μιγαδικούς σχετικά καθαρή.

Έστω

μέσο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα το ορθόκεντρο

και το κέντρο του κύκλου Euler

, και

,

τα μέσα των

,

αντίστοιχα.
Θα δείξουμε ότι το

είναι το ζητούμενο ριζικό κέντρο.
Αρκεί νδο
$\displaystyle{|PA^2-AK^2|=|PB^2-BL^2|=|PC^2-CM^2|}$

Έστω (ABC)

ο μοναδιαίος κύκλος.
Άρα $k = \dfrac{1}{2} (b+c)$ , h=a+b+c

και $n = \dfrac{a+b+c}{2}$ , επομένως $p=\dfrac{3}{4}(a+b+c)$ και $\overline p = \dfrac{3}{4}\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )$ .
Οπότε
$\displaystyle{PA^2 = |p-a|^2 = (p-a)(\overline p - \overline a) = OP^2 - a\overline p - \overline a p + 1 = OP^2 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}\right )}$
και
$\displaystyle{AK^2 = |a-k|^2=(a-k)(\overline a - \overline k) = 1 - k\overline a - a\overline k + k\overline k = 1 - \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{b}{a} +\dfrac{c}{a}\right ) - \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}\right ) + \dfrac{1}{4}\left (2 + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{b}\right )}$
Τότε
$\displaystyle{|PA^2-AK^2| = \left |OP^2 - 2 - \dfrac{1}{4} \sum_{sym}\dfrac{a}{b}}\right |$

Και το ζητούμενο έπεται λόγω συμμετρίας ως προς a,b,c

.

Ριζικό κέντρο πάνω στην ευθεία Euler!

Ριζικό κέντρο πάνω στην ευθεία Euler!

Re: Ριζικό κέντρο πάνω στην ευθεία Euler!

Μέλη σε σύνδεση