Το παράξενο πολύγωνο (2)

[Al.Koutsouridis]

Να σχεδιάσετε ένα πολύγωνο και σημείο αυτού (στην περίμετρό του) έτσι ώστε, κάθε ευθεία που διέρχεται από το , να το διαιρεί σε δυο κομμάτια ίσου εμβαδού.

[S.E.Louridas]

Να σχεδιάσετε ένα πολύγωνο και σημείο αυτού (στην περίμετρό του) έτσι ώστε, κάθε ευθεία που διέρχεται από το , να το διαιρεί σε δυο κομμάτια ίσου εμβαδού.

Καλημέρα με μία σκέψη-"ερώτηση" επί του πιεστηρίου:
Αν θεωρούσαμε ένα μη κυρτό πολύγωνο που έχει την ιδιότητα να υπάρχει τομή ως εσωτερικό σημείο δύο πλευρών του και που η τομή αυτή να είναι ταυτόχρονα και κέντρο συμμετρίας του πολυγώνου;

[Mihalis_Lambrou]

Σωτήρη, έχω φτιάξει ένα (μη κυρτό) πολύγωνο (με την καθιερωμένη σημασία του όρου) που κάποια κορυφή του έχει την εν λόγω ιδιότητα.

Δεν είμαι ακριβώς βέβαιος τι εννοείς με το σχήμα που περιγράφεις. Πάντως θα έλεγα ότι, για παράδειγμα, δύο τετράγωνα με μία κοινή κορυφή και παράλληλες πλευρές (όπως για π.χ. δύο γειτονικά μαύρα τετράγωνα σε μία σκακιέρα) έχουν την εν λόγω ιδιότητα αλλά δεν είναι δεκτό το σχήμα γιατί δεν είναι καθιερωμένου τύπου πολύγωνο. Το εν λόγω σημείο/κεντρο είναι η κοινή κορυφή.

Πιέζομαι χρονικά και δεν μπορώ αυτή την στιγμή να βάλω το σχήμα.

[Mihalis_Lambrou]

Ουπς, τώρα βλέπω από τις λέξεις κλειδιά ότι το θέμα έχει ξανασυζητηθεί εδώ. Το είχα ξεχάσει βέβαια, αλλά η απάντηση που έχω τώρα είναι πιο απλή και πιο αποδεκτή από τα σχήματα της παραπομπής.

[Al.Koutsouridis]

Ουπς, τώρα βλέπω από τις λέξεις κλειδιά ότι το θέμα έχει ξανασυζητηθεί εδώ. Το είχα ξεχάσει βέβαια, αλλά η απάντηση που έχω τώρα είναι πιο απλή και πιο αποδεκτή από τα σχήματα της παραπομπής.

Καλημέρα κ.Λάμπρου,

Στο θέμα στην παραπομπή το σημείο είναι εξωτερικό του πολυγώνου. Στο παρόν είναι σημείο του πολυγώνου. Συγγενικό του δηλαδή, αλλά όχι το ίδιο.

Πολύγωνο θεωρούμε την κλειστή, απλή τεθλασμένη σύμφωνα με το σχολικό ορισμό. Τα δυο μαύρα γειτονικά τετράγωνα σκακιέρας δεν είναι αποδεκτό σχήμα, αφού έχουν πλευρές που τέμνουν τον εαυτό τους (στην κοινή κορυφή).

Το σχήμα που περιγράφει ο κ.Λουρίδας ομολογώ πως δεν το κατανόησα.

[S.E.Louridas]

Μιχάλη και Αλέξη το φαντάστηκα, εν τάχει, ως εξής:
Το στο μη κυρτό σχήμα που ακολουθεί είναι το κέντρο συμμετρίας του.

σ.png (48.35 KiB) Προβλήθηκε 1286 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Σωτήρη, θα έλεγα ότι το απαγορεύει ο Αλέξανδρος αφού το σχήμα είναι ουσιαστικά όπως αυτό που περιέγραψα: Πάρε τα ναι είναι τετράγωνα.

[S.E.Louridas]

Σωτήρη, θα έλεγα ότι το απαγορεύει ο Αλέξανδρος αφού το σχήμα είναι ουσιαστικά όπως αυτό που περιέγραψα: Πάρε τα ναι είναι τετράγωνα.

Ναι Μιχάλη. Στην περίπτωση που σκέφτηκα η Ανάλυση είναι ακριβώς στο πνεύμα που και εσύ περιγράφεις σε μη κυρτό σχήμα και κέντρο συμμετρίας στην περίμετρο. Απλά ήθελα μία επιπλέον γενίκευση με το διερευνητικό άνοιγμα και για μεγαλύτερου πλήθους πλευρών.

[Mihalis_Lambrou]

Να σχεδιάσετε ένα πολύγωνο και σημείο αυτού (στην περίμετρό του) έτσι ώστε, κάθε ευθεία που διέρχεται από το , να το διαιρεί σε δυο κομμάτια ίσου εμβαδού.

Ξεκινάμε με ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίωνο (βλέπε αριστερό μέρος της εικόνας) και το χωρίζουμε σε δύο ίσα μέρη με μία ευθεία (την κόκκινη) παράλληλη της μίας κάθετης πλευράς. Για παράδειγμα παίρνουμε τρίγωνο κάθετης πλευράς και η διαχωρίζουσα απέχει από την κορυφή . Τώρα, κάθε ευθεία από το χωρίζει το τρίγωνο σε κάποια ζεύγη ίσων χωρίων, όπως τα δύο και τα δύο .

Με βάση το τρίγωνο φτιάχνουμε το σχήμα δεξιά. Το κίτρινο τρίγωνο δεξιά είναι το συμμετρικό του λευκού αριστερά. Το υπόλοιπο παραγέμισμα έγινε για να αποφύγουμε κορυφές με διασταυρούμενες πλευρές (δηλαδή να είναι, τοπικά, τύπου ). Τώρα, κάθε ευθεία από το κόβει τα ομοιόχρωμα σχήματα σε ισεμβαδικά. Στο σχήμα ζωγράφισα μερικές.

Αν δεν μου φεύγει κάτι, το τελικό σχήμα έχει την ζητούμενη ιδιότητα αφού την έχουν τα επιμέρους του χωρία. Είμαι βέβαιος ότι υπάρχει ευκολότερο σχήμα (έχω μια-δυο ιδέες) αλλά με τόσο κόψε-ράψε που έκανα για να το σχεδιάσω, άντε ξεκίνα και πάλι από την αρχή.

[S.E.Louridas]

Πράγματι Μιχάλη και Αλέξη μου διέφυγε το γεγονός ότι εδώ μιλάμε για Jordan polygon.