Τρίκυκλη κατασκευή

#1

: Τρίκυκλη κατασκευή.png (23.49 KiB) Προβλήθηκε 948 φορές

Η

είναι χορδή ενός τόξου (C)

που δέχεται γωνία $\theta$ και (A,r), (B,R), R+r<a,

είναι δύο

δοσμένοι κύκλοι. Να κατασκευάσετε κύκλο που να έχει το κέντρο του

πάνω στο τόξο (C)

και να εφάπτεται

εξωτερικά των κύκλων (A)

και

#2

george visvikis έγραψε: Τρί Δεκ 22, 2020 4:41 pm Τρίκυκλη κατασκευή.png Η είναι χορδή ενός τόξου που δέχεται γωνία $\theta$ και είναι δύο

δοσμένοι κύκλοι. Να κατασκευάσετε κύκλο που να έχει το κέντρο του πάνω στο τόξο και να εφάπτεται

εξωτερικά των κύκλων και

.
1) Θα βρούμε πρώτα αλγεβρικά τα $KA=p,\, KB=q$ . Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στο KAB

έχουμε

$a^2=p^2+q^2-2pq \cos \theta$ και q-p= R-r

. Άρα

που με αφαίρεση κατά μέλη με την πρώτη δίνει

$\displaystyle{ a^2-(R-r)^2=2pq(1-\cos \theta)}$ , ισοδύναμα $pq= \dfrac {a^2-(R-r)^2}{2(1-\cos \theta)}$ .

Συνεπώς τα

και

είναι οι ρίζες της εξίσωσης

$\displaystyle{ x^2-(R-r)x - \dfrac {a^2-(R-r)^2}{2(1-\cos \theta)}=0}$ .

Υπόψη ότι τα μεγέθη $\displaystyle{R-r}$ και $\displaystyle{\dfrac {a^2-(R-r)^2}{2(1-\cos \theta)}}$ κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη (γνωστό και άμεσο) όπως και οι ρίζες της δευτεροβάθμιας. Αυτό μας δίνει την μέθοδο από εδώ και πέρα, την οποία παραλείπω.

2) Μία μη-Ευκλείδεια κατασκευή είναι μέσω της παρατήρησης ότι το

είναι στην υπερβολή KB-KA=R-r=

σταθερό, με εστίες τα A,B

. Άρα προσδιορίζεται ως η τομή της εν λόγω υπερβολής με το δοθέν τόξο.

S.E.Louridas · #3

george visvikis έγραψε: Τρί Δεκ 22, 2020 4:41 pm Τρίκυκλη κατασκευή.png Η είναι χορδή ενός τόξου που δέχεται γωνία $\theta$ και είναι δύο
δοσμένοι κύκλοι. Να κατασκευάσετε κύκλο που να έχει το κέντρο του πάνω στο τόξο και να εφάπτεται
εξωτερικά των κύκλων και

Μία άλλη άποψη:
Αρκεί να κατασκευάσουμε κύκλο (K,p)

που να διέρχεται από το

και να εφάπτεται στον κύκλο h:(B,R-r)

, έστω σε σημείο

Οπότε αρκεί να προσδιορίσουμε το σημείο

Αυτό προσδιορίζεται ως τομή του κύκλου

και του τόξου που βλέπει το

υπό γωνία $\displaystyle{ \omega = \frac{\pi }{2} + \angle \frac{\theta }{2}.}$ Στο σχήμα ο ζητούμενος κύκλος είναι ο

: 123.png (105.46 KiB) Προβλήθηκε 871 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ σε όλους!

: Τρίκυκλη κατασκευή.png (185.4 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

Ας είναι το πρόβλημα λυμένο. Με R>r

θεωρούμε το $F \in KA$ ώστε να είναι KF=KB

.

Το

"βλέπει" την

υπό γωνία $\omega =\dfrac{\pi -\theta }{2}$ δηλ ανήκει σε γνωστό τόξο

αλλά και στον κύκλο (A, R-r)

αφού

. Συνεπώς το

κατασκευάζεται

και στην συνέχεια και το

ως τομή του αρχικού τόξου με την

. Φιλικά, Γιώργος.

Υ.Γ. Διαβάζοντας τη λύση του Σωτήρη με τη βοήθεια και του εκεί σχήματος ,

διαπιστώνω εκ των υστέρων το ίδιο πνεύμα αντιμετώπισης στη λύση μου , όπως και στη δική του!!

nickchalkida · #5

Απλά να συμπληρώσω με σχήμα την "μη-Ευκλείδεια κατασκευή" του Μιχάλη.

#6

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις!

Να πω απλώς ότι η άσκηση κατασκευάστηκε με αφορμή το πολύ ωραίο θέμα του φίλτατου Νίκου Φραγκάκη,

Επιστροφή στο μέλλον. Το πρόβλημα ανάγεται στην κατασκευή τριγώνου KAB

όταν γνωρίζουμε την πλευρά

AB=a

τη γωνία $A\widehat KB=\theta$ και ότι |KA-KB|=|R-r|.

Τρίκυκλη κατασκευή

Τρίκυκλη κατασκευή

Re: Τρίκυκλη κατασκευή

Re: Τρίκυκλη κατασκευή

Re: Τρίκυκλη κατασκευή

Re: Τρίκυκλη κατασκευή

Re: Τρίκυκλη κατασκευή

Μέλη σε σύνδεση