Επί του εγκύκλου

KARKAR · #1

: Επί του εγκύκλου.png (14.77 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

Τα σημεία S , B , C , T

είναι συνευθειακά και τέτοια ώστε : SB=2 , BC=6 , CP=4.5

. Με βάση την

σχεδιάζουμε το ισοσκελές τρίγωνο ABC

και γράφουμε τον έγκυκλό του , ο οποίος εφάπτεται στα σκέλη AB , AC

στα σημεία D,E

αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι ευθείες SD , PE

, τέμνονται επί του εγκύκλου .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 19, 2021 7:35 pm Επί του εγκύκλου.pngΤα σημεία είναι συνευθειακά και τέτοια ώστε : . Με βάση την

σχεδιάζουμε το ισοσκελές τρίγωνο και γράφουμε τον έγκυκλό του , ο οποίος εφάπτεται στα σκέλη

στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι ευθείες , τέμνονται επί του εγκύκλου .

Θα δείξω το ισοδύναμο : Ότι η

διέρχεται από το

. Ας είναι λοιπόν CP = x

.

Επειδή το έγκεντρο

ανήκει στη μεσοκάθετο του

, αν

το μέσο του , από το Θ. του Νότιου πόλου η

είναι διχοτόμος του $\vartriangle TSP$ .

: Πάνω στον έγκυκλο.png (27.8 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Επειδή

θα είναι $\widehat {{S_{}}} = \widehat {TDE} = \widehat {TEA} = \widehat {{\omega _{}}}$ και ομοίως $\widehat {{P_{}}} = \widehat {{\theta _{}}}$ , συνεπώς ( με πολλούς τρόπους) :

$\vartriangle DSB \approx \vartriangle PEC$ . Θέτω $\boxed{DB = k = EC}$ θα έχω:

$\dfrac{{DS}}{{PE}} = \dfrac{{SB}}{{EC}} = \dfrac{{DB}}{{PC}} \Rightarrow \dfrac{{DS}}{{PE}} = \dfrac{2}{k} = \dfrac{k}{x}\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά λόγω Θ. διχοτόμου και της, DE//SP

:

$\dfrac{{DS}}{{PE}} = \dfrac{{TD}}{{TE}} = \dfrac{{TS}}{{TP}} = \dfrac{5}{{x + 3}}\,\,\,\left( 2 \right)$ . Δηλαδή $\left\{ \begin{gathered} \frac{2}{k} = \frac{5}{{x + 3}} \hfill \\ \frac{k}{x} = \frac{5}{{x + 3}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \dfrac{2}{k} \cdot \dfrac{k}{x} = \dfrac{{25}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} \Rightarrow 2{x^2} - 13x + 18 = 0$ απ’ όπου : $\left\{ \begin{gathered} x = \dfrac{9}{2} \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ αναγκαστικά : $\boxed{x = \dfrac{9}{2}}$ , αλλιώς ο έγκυκλος θα είχε μηδενική ακτίνα.

#3

Στον δρόμο που χάραξε ο Νίκος πιο πάνω.

Από τα όμοια τρίγωνα $\vartriangle DSB,\ \vartriangle PEC\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{BD}{CP} = \frac{BS}{CE}\Rightarrow$ $\displaystyle CP = \frac{3\cdot 3}{2} = \frac{9}{2}$ και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#4

vittasko έγραψε: Τετ Ιαν 20, 2021 12:39 am Στον δρόμο που χάραξε ο Νίκος πιο πάνω.

Από τα όμοια τρίγωνα $\vartriangle DSB,\ \vartriangle PEC\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{BD}{CP} = \frac{BS}{CE}\Rightarrow$ $\displaystyle CP = \frac{3\cdot 3}{2} = \frac{9}{2}$ και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Καλή χρονιά με υγεία Κώστα.

Αφού το είναι , τα άλλα δεν μου χρειάζονται !

ευχαριστώ για την διόρθωση .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Τρί Ιαν 19, 2021 7:35 pm Επί του εγκύκλου.pngΤα σημεία είναι συνευθειακά και τέτοια ώστε : . Με βάση την

σχεδιάζουμε το ισοσκελές τρίγωνο και γράφουμε τον έγκυκλό του , ο οποίος εφάπτεται στα σκέλη

στα σημεία αντίστοιχα . Δείξτε ότι οι ευθείες , τέμνονται επί του εγκύκλου .

Η

τέμνει τον κύκλο στο

.Θα δείξουμε ότι η

περνά από το

.

Με

συμμετρικό του

ως προς

είναι

και προφανώς οι PE,QD

τέμνονται σε σημείο

του ύψους

Επειδή

(9=9) και λόγω της DE//BC

όλες οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες

Όμως

εφαπτόμενη του κύκλου.Συνεπώς οι EK,ET

σχηματίζουν με την

ίσες γωνίες $\theta$ άρα E,K,T

συνευθειακά

: Επί του εγκύκλου.png (22.14 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές

Επί του εγκύκλου

Επί του εγκύκλου

Re: Επί του εγκύκλου

Re: Επί του εγκύκλου

Re: Επί του εγκύκλου

Re: Επί του εγκύκλου

Μέλη σε σύνδεση