Εξ όνυχος τον λέοντα

KARKAR · #1

: Εξ όνυχος τον λέοντα.png (11.1 KiB) Προβλήθηκε 789 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

φέραμε το προς την υποτείνουσα ύψος

και την διχοτόμο

.

Αν το μέσο

του τμήματος

, ισαπέχει από τα σημεία

και

, υπολογίστε το : $\sin$ $\hat{B}$

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 01, 2021 1:15 pm Εξ όνυχος τον λέοντα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο φέραμε το προς την υποτείνουσα ύψος και την διχοτόμο .

Αν το μέσο του τμήματος , ισαπέχει από τα σημεία και , υπολογίστε το : $\sin$ $\hat{B}$

: Εξ όνυχος τον λέοντα.png (13.63 KiB) Προβλήθηκε 752 φορές

$\displaystyle CD = \frac{{{b^2}}}{a},AE = \frac{{bc}}{{a + b}}$ και $\displaystyle aAD = bc \Leftrightarrow AM = MD = \frac{{bc}}{{2a}}.$ Με Πυθαγόρειο στο MCD,

νόμο

συνημιτόνου στο AME

κι επειδή

και

καταλήγω (μετά τις πράξεις) στην εξίσωση:

$\displaystyle {b^2} + 2ab - {a^2} = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\sin B = \frac{b}{a} = \sqrt 2 - 1}$

#3

: εξ όνυχος το λέοντα.png (14.09 KiB) Προβλήθηκε 676 φορές

Επειδή ζητώ τριγωνομετρικό αριθμό θεωρώ ότι $\boxed{AC = 1}$ , καρτεσιανό σύστημα με αρχή το

και την ευθεία

οριζόντιο άξονα.

Έστω $B(b,0)\,\,b > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E(e,0)\,\,,\,\,\boxed{e = \frac{b}{{a + 1}}\,}$ με $a = \sqrt {{b^2} + 1}$ το μήκος της υποτείνουσας .

Η ευθεία $CB \to x + by = bc\,\,$ άρα η $AD \to y = bx$ οπότε από το σύστημά τους : $D\left( {\dfrac{b}{{{a^2}}},\dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}} \right) \Rightarrow M\left( {\dfrac{b}{{2{a^2}}},\dfrac{{{b^2}}}{{2{a^2}}}} \right)$ .

Επειδή : $\overrightarrow {CM} = \left( {\dfrac{b}{{2{a^2}}},\dfrac{{{b^2}}}{{2{a^2}}} - 1} \right)\,\,,\,\,\overrightarrow {EM} = \left( {\dfrac{b}{{2{a^2}}} - e,\dfrac{{{b^2}}}{{2{a^2}}}} \right)$ η ισότητα των μέτρων τους με $x = {b^2} > 0$ δίνει την εξίσωση:

$\sqrt {x + 1} \left( {3x + 2} \right) = \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)$ που με ύψωση στο τετράγωνο δίδει την μη ισοδύναμη: $x\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4x - 4} \right) = 0$

και έχω μόνο μια δεκτή ρίζα : $\boxed{x = 2\sqrt 2 + 2}$ . Άρα $a = \sqrt {2\sqrt 2 + 3}$ οπότε: $\boxed{\sin B = \frac{1}{a} = \sqrt 2 - 1}$

Παρατήρηση:

$\sqrt {2\sqrt 2 + 3} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 01, 2021 1:15 pm Εξ όνυχος τον λέοντα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο φέραμε το προς την υποτείνουσα ύψος και την διχοτόμο .

Αν το μέσο του τμήματος , ισαπέχει από τα σημεία και , υπολογίστε το : $\sin$ $\hat{B}$

Με

συμμετρικό του

ως προς

,είναι

άρα $AQ \bot AD$ κι έστω ότι

$AE \cap AQ=Z$ οπότε το τρίγωνο CAZ

είναι ισοσκελές.

Αν

είναι μέσον της

θα είναι $MP//AZ\Rightarrow MP\bot DA$ και

μέσον της

Επειδή $\angle \dfrac{C}{2}= \angle CPM=y+ \theta =x+ \theta \Rightarrow \angle x= \angle y$ και λόγω των CM=ME

και ισότητας των γωνιών $\omega \Rightarrow \triangle CAM= \triangle MNE \Rightarrow MN=b \Rightarrow DB=2b$

Αλλά $c^2=a . DB \Rightarrow DB= \dfrac{c^2}{a}=2b \Rightarrow c^2=2ab \Leftrightarrow a^2-b^2=2ab$ και με

$\dfrac{b}{a}=sin \omega \Rightarrow sin^2 \omega +2sin \omega -1=0$ με δεκτή ρίζα $sin \omega = \sqrt{2} -1$

: εξ όνυχος τον λέοντα.png (26.3 KiB) Προβλήθηκε 632 φορές

Εξ όνυχος τον λέοντα

Εξ όνυχος τον λέοντα

Re: Εξ όνυχος τον λέοντα

Re: Εξ όνυχος τον λέοντα

Re: Εξ όνυχος τον λέοντα

Μέλη σε σύνδεση