Τμήματα σε ημιτετράγωνο

KARKAR · #1

: Τμήματα σε ορθογώνιο και ισοσκελές.png (9.12 KiB) Προβλήθηκε 812 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και το

είναι το μέσο της υποτείνουσάς του

.

Σε σημείο

, το οποίο κινείται στο τμήμα

, φέρω το κάθετο προς την

, τμήμα

.

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{CT}{AS}$ , παραμένει σταθερός ... β) Βρείτε την θέση του

, για την οποία

το τμήμα

, το οποίο συνδέει τα μέσα των AS , CT

, ισούται με $\dfrac{5a}{16}$ , ( a=BC

) .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 26, 2021 8:23 pm Τμήματα σε ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΤο τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και το είναι το μέσο της υποτείνουσάς του .

Σε σημείο , το οποίο κινείται στο τμήμα , φέρω το κάθετο προς την , τμήμα .

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{CT}{AS}$ , παραμένει σταθερός ... β) Βρείτε την θέση του , για την οποία

το τμήμα , το οποίο συνδέει τα μέσα των , ισούται με $\dfrac{5a}{16}$ , ( ) .

Προφανώς οι γωνίες ίδιου χρώματος είναι ίσες ,άρα $\triangle AMS \simeq \triangle ATC \Rightarrow \dfrac{CT}{AS}= \dfrac{AC}{AM}= \sqrt{2}$

Επειδή

κέντρο του κύκλου (A,T,S,C)

είναι,

$\angle ALS=90^0$ και $\dfrac{AS}{2}=KL= \dfrac{5a}{16} \Rightarrow AS=\dfrac{5a}{8} \Rightarrow CT= \dfrac{5a \sqrt{2} }{8}$

Με Π.Θ στο τρίγωνο TSC

είναι $CT^2=(a-m)^2+m^2 \Rightarrow 64m^2-64am+7a^2=0$

με δεκτή ρίζα $m= \dfrac{a}{8}$

: τμήματα σε ημιτετράγωνο.png (26.51 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 26, 2021 8:23 pm Τμήματα σε ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΤο τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και το είναι το μέσο της υποτείνουσάς του .

Σε σημείο , το οποίο κινείται στο τμήμα , φέρω το κάθετο προς την , τμήμα .

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{CT}{AS}$ , παραμένει σταθερός ... β) Βρείτε την θέση του , για την οποία

το τμήμα , το οποίο συνδέει τα μέσα των , ισούται με $\dfrac{5a}{16}$ , ( ) .

Kαλημέρα

πρώτη λύση με Καρτέσιο εφόσον εχουμε ημιτετράγωνο την αφήνω

Δευτερη λύση

Για το πρώτο ερώτημα

$\large SM=x,AT=x\sqrt{2},TS=\dfrac{a}{2}-x,SC=x+\dfrac{a}{2},AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2},$

Θεώρημα Πτολεμαίου στο τετράπλευρο $\large ATSC,\dfrac{CT}{AS}=\dfrac{AT.TS+SC.AC}{AT.AC+ST.SC}\Rightarrow \dfrac{CT}{AS}=\dfrac{-\sqrt{2}x^{2}+a\sqrt{2}x+\dfrac{a^{2}\sqrt{2}}{4}}{-x^{2}+ax+\dfrac{a^{2}}{4}}=\sqrt{2}$

Για το δεύτερο ερώτημα

Είναι $\large CT=\sqrt{2}AS,KL=\dfrac{5a}{16}$

Απο το θεώρημα του $\large Euler$ στο τετράπλευρο $\large ATSC, AT^{2}+AC^{2}+SC^{2}+TS^{2}=4KL^{2}+AS^{2}+ST^{2} \Rightarrow 3AS^{2}+\dfrac{25a^{2}}{64}=2x^{2}+\dfrac{a^{2}}{2}+(x+\dfrac{a}{2})^{2}+(\dfrac{a}{2}-x)^{2}$

είναι $\large AS^{2}=x^{2}+\dfrac{a^{2}}{4},$

Οπότε $\large x=\dfrac{3a}{8}$

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 26, 2021 8:23 pm Τμήματα σε ορθογώνιο και ισοσκελές.pngΤο τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και το είναι το μέσο της υποτείνουσάς του .

Σε σημείο , το οποίο κινείται στο τμήμα , φέρω το κάθετο προς την , τμήμα .

α) Δείξτε ότι ο λόγος : $\dfrac{CT}{AS}$ , παραμένει σταθερός ... β) Βρείτε την θέση του , για την οποία

το τμήμα , το οποίο συνδέει τα μέσα των , ισούται με $\dfrac{5a}{16}$ , ( ) .

Είναι $a=b\sqrt 2$ και αν θέσω BS=ST=x,

θα είναι $BT=x\sqrt 2, AT=b-x\sqrt 2, SC=b\sqrt 2-x.$

: Τμήματα σε ημιτετράγωνο.png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 763 φορές

α) Από Π. Θ στο TSC

και ν. συνημιτόνου στο ABS,

έχω: $\displaystyle C{T^2} = 2({x^2} + {b^2} - bx\sqrt 2 ) = 2A{S^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{{CT}}{{AS}} = \sqrt 2 }$

β) Θεώρημα $\displaystyle {\rm{Euler}}$ στο τετράπλευρο ATSC:

$\displaystyle (A{T^2} + A{C^2}) + (S{T^2} + S{C^2}) = T{C^2} + A{S^2} + 4K{L^2}$

$\displaystyle 2T{C^2} = \frac{{3T{C^2}}}{2} + 4K{L^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{a = b\sqrt 2 } 64{x^2} - 64ax + 7{a^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x < \frac{a}{2}}$ $\boxed{x=\frac{a}{8}}$

Βλέπω ότι έχουμε ίδια λύση με τον Γιάννη στο β) ερώτημα.

Τμήματα σε ημιτετράγωνο

Τμήματα σε ημιτετράγωνο

Re: Τμήματα σε ημιτετράγωνο

Re: Τμήματα σε ημιτετράγωνο

Re: Τμήματα σε ημιτετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση