Τέσσερις ίσοι κύκλοι

#1

: Pagoda.png (21.96 KiB) Προβλήθηκε 664 φορές

Τέσσερις κύκλοι ακτίνας

έχουν εγγραφεί σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς

, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να προσδιορίσετε το

ως έκφραση του

.

#2

Doloros έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 22, 2021 10:53 am
Pagoda.png

Τέσσερις κύκλοι ακτίνας έχουν εγγραφεί σε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς , όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να προσδιορίσετε το ως έκφραση του .

: 4 ίσοι κύκλοι.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

$\displaystyle r = \frac{a}{8}\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)$

Το απογευματάκι όλη η λύση.

edit: Άρση απόκρυψης.

KARKAR · #3

Εικάζεται ότι το μυστικό της λύσης κρύβεται στην ομοιοχρωμία των κύκλων , αλλιώς θα είχε απαντηθεί τότε

#4

Έστω

και

. Ο έγκυκλος (O)

του ισοπλεύρου KLM

έχει

ακτίνα $\boxed{r = \frac{{x\sqrt 3 }}{6}}$ (1)

και αν

είναι ο έγκυκλος του BLC

τότε

σημείο επαφής με την LC).

: 4 ίσοι κύκλοι.png (22.08 KiB) Προβλήθηκε 594 φορές

Νόμος συνημιτόνου στο BLC:

$\displaystyle {a^2} = {y^2} + {(x + y)^2} + y(x + y) \Leftrightarrow$ $\boxed{{a^2} = {x^2} + 3xy + 3{y^2}}$ (2)

$\displaystyle JH = LH\tan 60^\circ \Leftrightarrow r = \frac{{\sqrt 3 }}{2}(x + 2y - a)\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} y = \frac{{3a - 2x}}{6}\mathop \Rightarrow \limits^{(2)}$

$\displaystyle {a^2} = {x^2} + \frac{{x(3a - 2x)}}{2} + \frac{{{{(3a - 2x)}^2}}}{{12}} \Leftrightarrow 4{x^2} + 6ax - 3{a^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$

$\boxed{x = \frac{a}{4}\left( {\sqrt {21} - 3} \right)}$ Αντικαθιστώντας τώρα στην (1)

παίρνω $\boxed{r = \frac{a}{8}\left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right)}$

Αύριο ... η κατασκευή.

#5

Για την κατασκευή.

Ανάλυση: Στην προηγούμενή μου ανάρτηση βρέθηκε $\displaystyle x = \frac{a}{4}\left( {\sqrt {21} - 3} \right),$ οπότε $\displaystyle y = \frac{a}{{12}}\left( {9 - \sqrt {21} } \right)$

και $\displaystyle x + y = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}.$ Εφαρμόζοντας τώρα το νόμο συνημιτόνου στο BLC,

βρίσκω $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{4}.$

: 4 ίσοι κύκλοι.β.png (28.04 KiB) Προβλήθηκε 534 φορές

Κατασκευή:
Γράφω το το τόξο $\overset\frown{AC}$ του κύκλου (B,a)

και φέρνω από το μέσο

της

κάθετη στη

που τέμνει το εν λόγω

τόξο στο

Ομοίως ορίζονται τα σημεία P, T.

Οι

τέμνονται ανά δύο στα K, L, M.

Οι 4 κύκλοι είναι οι

εγγεγραμμένοι τρίγωνα AKB, BLC, CMA, KLM

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Απόδειξη: Αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle \cos \theta = \frac{3}{4}.$ Πράγματι, αν

είναι το σημείο τομής των SN, BC,

τότε $\displaystyle \cos 60^\circ = \frac{{DC}}{{CN}} \Leftrightarrow DC = \frac{{CN}}{2} = \frac{a}{4} \Leftrightarrow BD = \frac{{3a}}{4}$ και $\displaystyle \cos \theta = \frac{{BD}}{{BS}} = \frac{3}{4}$

Τέσσερις ίσοι κύκλοι

Τέσσερις ίσοι κύκλοι

Re: Τέσσερις ίσοι κύκλοι

Re: Τέσσερις ίσοι κύκλοι

Re: Τέσσερις ίσοι κύκλοι

Re: Τέσσερις ίσοι κύκλοι

Μέλη σε σύνδεση