Μεγιστοποίηση εμβαδού

KARKAR · #1

: Μεγιστοποίηση εμβαδού 21.png (11.4 KiB) Προβλήθηκε 1079 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, το

είναι το μέσο της υποτείνουσας

και τα

,

είναι τα μέσα των ημικυκλίων με διαμέτρους AB , BC

αντίστοιχα .

Εκφράστε το (SMN)

ως συνάρτηση των μηκών των κάθετων πλευρών $b , c, ( b\leq c )$

και υπολογίστε το μέγιστό του , αν το

είναι σταθερό . Εφαρμογή : (AB)=c =8

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Απρ 26, 2021 7:32 am Στο ορθογώνιο τρίγωνο , το είναι το μέσο της υποτείνουσας και τα ,

είναι τα μέσα των ημικυκλίων με διαμέτρους αντίστοιχα .

Εκφράστε το ως συνάρτηση των μηκών των κάθετων πλευρών $b , c, ( b\leq c )$

και υπολογίστε το μέγιστό του , αν το είναι σταθερό . Εφαρμογή :

Προφανώς τα M, N

είναι σημεία στην προέκταση της διχοτόμου

του τριγώνου ABC.

: Μεγ. εμβαδού.png (17.13 KiB) Προβλήθηκε 1066 φορές

$\displaystyle \bullet$ Αν b=c,

τα σημεία

συμπίπτουν και τα S, M, N

είναι συνευθειακά.

$\displaystyle \bullet$ Έστω b<c,

τότε $\displaystyle \frac{{CP}}{{PS}} = \frac{b}{{MS}} \Leftrightarrow \frac{{CP}}{{\dfrac{a}{2} - CP}} = \frac{b}{{MS}},$ με $\displaystyle CP = \frac{{ab}}{{b + c}},$

απ' όπου $\boxed{MS = \frac{{c - b}}{2}}$ Εξάλλου $\displaystyle NS = \frac{a}{2}$ και με νόμο συνημιτόνου στο MSN

έχω:

$\displaystyle \frac{{{a^2}}}{4} = M{N^2} + \frac{{{{(c - b)}^2}}}{4} + MN \cdot (c - b)\frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 2M{N^2} + MN(c - b)\sqrt 2 - bc = 0,$

απ' όπου βρίσκω $\displaystyle MN = \frac{{b\sqrt 2 }}{2}$ και $(MSN) = \frac{1}{2}MS \cdot MN\sin 135^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{(MSN) = \frac{1}{8}b(c - b)}$

$\displaystyle b + c - b = c$ σταθερό, άρα το γινόμενο b(c-b)

μεγιστοποιείται όταν $\displaystyle b = c - b \Leftrightarrow$ $\boxed{b=\dfrac{c}{2}}$ και γίνεται ίσο με

$\boxed{ {(SMN)_{\max }} = \frac{{{c^2}}}{{32}}}$ Για το τρίγωνο της εφαρμογής b=4

και $\boxed{ {(SMN)_{\max }} =2}$

#3

Kαλησπέρα σε όλους.

: 26-01-2021 Γεωμετρία a.png (37.13 KiB) Προβλήθηκε 1030 φορές

,

σταθερό,

, οπότε $\displaystyle S\left( {\frac{c}{2},\;\frac{b}{2}} \right)$ και $\displaystyle M\left( {\frac{c}{2},\;\frac{c}{2}} \right)$

Είναι $\displaystyle MS = \left| {\frac{c}{2} - BS} \right| = \frac{{\left| {c - b} \right|}}{2}$

MAB

ισοσκελές, άρα $\displaystyle \widehat {BMN} = 135^\circ$

$\displaystyle AM:\;y = x,\;x \ge 0$ ,

Το ημικύκλιο διαμέτρου

έχει εξίσωση $\displaystyle {C_2}:{\left( {x - \frac{c}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{b}{2}} \right)^2} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{4},\;\;y \ge b$

Οπότε, λύνοντας το σύστημά τους για x > 0

έχουμε $\displaystyle 2{x^2} - \left( {b + c} \right)x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{b + c}}{2}$ άρα $\displaystyle N\left( {\frac{{b + c}}{2},\;\frac{{b + c}}{2}} \right)$ .

Οπότε $\displaystyle MN = \sqrt {2{{\left( {\frac{{b + c}}{2} - \frac{c}{2}} \right)}^2}} = \frac{{b\sqrt 2 }}{2}$

Άρα $\displaystyle \left( {MSN} \right) = \frac{{MN \cdot MS \cdot \eta \mu 135^\circ }}{2} = \frac{{\frac{{\left| {c - b} \right|}}{2} \cdot \frac{{b\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{b\left| {c - b} \right|}}{8},\;b \ge 0$

Για $b\le c$ είναι $\displaystyle \left( {MSN} \right) = \frac{{b\left( {c - b} \right)}}{8}$ . Επειδή b + c – b=c

, σταθερό, το γινόμενό τους έχει μέγιστο όταν b = c-b

δηλαδή όταν $\displaystyle b = \frac{c}{2}$ , με τιμή $\displaystyle {\left( {MSN} \right)_{\max }} = \frac{{{c^2}}}{{32}}$ .
(Η θέση μεγίστου εντοπίζεται επίσης με τη μέθοδο του τριωνύμου ή με τη βοήθεια της παραγώγου).

Για b > c

είναι $\displaystyle \left( {MSN} \right) = \frac{b^2-bc}{8}$ . Δεν έχει μέγιστο, αφού το εμβαδόν αυξάνει απεριόριστα, καθώς αυξάνει το

,
(δηλαδή $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{b \to + \infty } \frac{{{b^2} - bc}}{2} = + \infty$ ).

KARKAR · #4

Γιώργο ( Ρίζο ) , ευχαριστώ για την υπόδειξη ότι πρέπει : $b\leq c$ .

Δεν ήταν η λύση μου αυτή που προτείνεις ( ήταν παρόμοια με του Γ . Βισβίκη ) αλλά αφού έχουμε

τις συντεταγμένες των κορυφών , προκύπτει ότι : (SMN)

= $\dfrac{1}{2}$ $\begin{vmatrix} \dfrac{b}{2} & \dfrac{c}{2}\\ \\ 0 & \dfrac{c-b}{2} \end{vmatrix}=\dfrac{b(c-b)}{8}$

#5

: Μεγιστοποίηση εμβαδού.png (21.92 KiB) Προβλήθηκε 988 φορές

Έστω

το κέντρο του μικρού ημικυκλίου και

η προβολή του

στην

.

Στο τετράπλευρο MSBN

τα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T$ βλέπουν υπό ορθή γωνία την

άρα αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου

.

Η εξωτερική του γωνία στο

θα είναι $45^\circ$ , έτσι : $2\left( {MSN} \right) = MS \cdot OT$ και αφού

$\boxed{MS + OT = MS + SO = \frac{c}{2}}$ το $\left( {MSN} \right)$ μεγιστοποιείται όταν $\boxed{MS = SO = \frac{c}{4}}$

και τότε γίνεται : $\boxed{{{\left( {MSN} \right)}_{\max }} = \frac{{{c^2}}}{{32}}}$

Παρατήρηση .

Ο προσδιορισμός του εμβαδού ως έκφραση των $b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c$ :

$\boxed{\left( {MSN} \right) = \frac{1}{2}MS \cdot OT = \frac{1}{2}MS \cdot OS = \frac{1}{2}MS\frac{b}{2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{2} - \frac{b}{2}} \right)\frac{b}{2} = \frac{1}{8}\left( {c - b} \right)b}$

nickchalkida · #6

Αν και το θέμα έχει καλυφθεί επαρκώς, ... ακόμα μία οπτική.
Επειδή είναι

$\displaystyle{ (MSN) = {1 \over 2} MS \cdot DN }$

αλλά είναι

$\displaystyle{ \begin{aligned} & MS = MO - SO = {c \over 2} - {b \over 2} \cr & {DN \over SO} = {DS \over OB} = {SB \over SN} = 1 \rightarrow DN = SO = {b \over 2} \cr \end{aligned} }$

άρα

$\displaystyle{ (MSN) = {1 \over 2}{c-b \over 2}{b \over 2} = {b(c-b) \over 8} }$

(... τα υπόλοιπα όπως η πρώτη απάντηση του Γιώργου)

Μεγιστοποίηση εμβαδού

Μεγιστοποίηση εμβαδού

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση