Αντιδιαμετρικά

#1

: Παράλληλες και εφαπτόμενες.png (14.06 KiB) Προβλήθηκε 834 φορές

Στα σημεία A, B

ενός κύκλου (O, R)

φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα AC, BD

και έστω

το μέσο του AC.

Αν η

είναι εφαπτομένη του κύκλου και $AD\bot CO$ να δείξετε ότι τα σημεία A, B

είναι αντιδιαμετρικά.

#2

Ας είναι

το σημείο επαφής της

με τον κύκλο. Φανερά το τρίγωνο CAE

είναι ορθογώνιο στο

.

Τo

ανήκει στην πολική του

( απλό), άρα το

ανήκει στην πολική

του

. Επομένως τα C, E, B

είναι συνευθειακά, και, αφού η γωνία CEA

είναι ορθή, η

είναι διάμετρος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 27, 2021 9:34 pm
Παράλληλες και εφαπτόμενες.png
Στα σημεία ενός κύκλου φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω το μέσο του

Αν η είναι εφαπτομένη του κύκλου και $AD\bot CO$ να δείξετε ότι τα σημεία είναι αντιδιαμετρικά.

Θα αποδείξουμε ισοδύναμα ότι $\angle MOD=90^0$

Προφανώς τα D,Z,H,O,D

είναι ομοκυκλικά.Επίσης , $MZ=MA=MC\Rightarrow \angle CZA=90^0 \Rightarrow C,Z,H,A$

ομοκυκλικά με

κέντρο του κύκλου

Έτσι,

εφαπτομένη του ,συνεπώς οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες

Άρα $AZ//DO \Rightarrow \angle MOD=90^0$

: Αντιδιαμετρικά.png (94.43 KiB) Προβλήθηκε 691 φορές

Αντιδιαμετρικά

Αντιδιαμετρικά

Re: Αντιδιαμετρικά

Re: Αντιδιαμετρικά

Μέλη σε σύνδεση