Ομοκυκλική πεντάδα

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ! Και αυτή η δημιουργία έχει την ..αφορμή της.

: 25-1 Ομοκυκλική πεντάδα.png (170.71 KiB) Προβλήθηκε 884 φορές

Θεωρούμε τον ρόμβο ABCD

με $\widehat{B}< 90^o$ .

Για τα σημεία $O \in BC$ και $P \in CD$ ισχύει $\widehat{AOB}=\widehat{AOP}=\theta$ .

Οι AO,AP

τέμνουν την

στα

και

αντίστοιχα.

Να εξεταστεί αν τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Ιαν 25, 2022 10:23 am Χαιρετώ! Και αυτή η δημιουργία έχει την ..αφορμή της.
25-1 Ομοκυκλική πεντάδα.png
Θεωρούμε τον ρόμβο με $\widehat{B}< 90^o$ .

Για τα σημεία $O \in BC$ και $P \in CD$ ισχύει $\widehat{AOB}=\widehat{AOP}=\theta$ .

Οι τέμνουν την στα και αντίστοιχα.

Να εξεταστεί αν τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Είναι $\displaystyle \angle \theta =\angle NOP\overset{\upsilon \pi o\theta \varepsilon \sigma \eta }{\mathop{=}}\,\angle AOB\overset{BC\parallel AD}{\mathop{=}}\,\angle OAD$ $\displaystyle \overset{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,BD}{\mathop{=}}\,\angle NCD\equiv \angle NCP$ άρα $\displaystyle O,N,P,C$ ομοκυκλικά, οπότε $\displaystyle \angle NPD=\angle NOC\overset{OC\parallel AD}{\mathop{=}}\,{{180}^{0}}-\angle OAD\Rightarrow N,A,D,P$ ομοκυκλικά και συνεπώς $\displaystyle \angle PNI\equiv \angle PND=\angle PAD\equiv \angle IAD\overset{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha \,\,\omega \varsigma \,\,\pi \rho o\varsigma \,\,BD}{\mathop{=}}\,$ $\displaystyle \angle ICD\equiv \angle ICP\Rightarrow N,I,P,C$ ομοκυκλικά.
Από τις ομοκυκλικές τετράδες $\displaystyle O,N,P,C$ και $\displaystyle N,I,P,C$ με τρία κοινά σημεία προκύπτει ότι $\displaystyle O,N,I,P,C$ είναι ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

"Βαρύς" νομίζω ο φάκελος Γιώργο

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Ιαν 25, 2022 10:23 am Χαιρετώ! Και αυτή η δημιουργία έχει την ..αφορμή της.
25-1 Ομοκυκλική πεντάδα.png
Θεωρούμε τον ρόμβο με $\widehat{B}< 90^o$ .

Για τα σημεία $O \in BC$ και $P \in CD$ ισχύει $\widehat{AOB}=\widehat{AOP}=\theta$ .

Οι τέμνουν την στα και αντίστοιχα.

Να εξεταστεί αν τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Ο περίκυκλος του AOP

τέμνει την

στο

Από το εγγεγραμμένο ALOP

είναι $A\widehat LP = A\widehat PL = \theta$ και

AL = AP,

άρα τα αμβλυγώνια τρίγωνα ALC, APC

είναι ίσα, οπότε LC = PC

κι επειδή

θα είναι

απ' όπου $A\widehat IB = \theta.$ Άρα τα N, O, P, I

είναι ομοκυκλικά.

: Ομοκυκλική πεντάδα.png (23.01 KiB) Προβλήθηκε 816 φορές

Εξάλλου επειδή η

είναι μεσοκάθετος του AC,

το

είναι χαρταετός, οπότε $\displaystyle N\widehat CD = N\widehat AD = N\widehat OB = \theta,$

που σημαίνει ότι τα N, C, P,, I

είναι ομοκυκλικά και το ζητούμενο αποδείχτηκε.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Τρί Ιαν 25, 2022 10:23 am Χαιρετώ! Και αυτή η δημιουργία έχει την ..αφορμή της.
25-1 Ομοκυκλική πεντάδα.png
Θεωρούμε τον ρόμβο με $\widehat{B}< 90^o$ .

Για τα σημεία $O \in BC$ και $P \in CD$ ισχύει $\widehat{AOB}=\widehat{AOP}=\theta$ .

Οι τέμνουν την στα και αντίστοιχα.

Να εξεταστεί αν τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Με $DH=OB\Rightarrow OC=CH \Rightarrow OBDH$ ισοσκελές τραπέζιο,άρα $\angle x= \angle y$

Ακόμη $\triangle ABO= \triangle AHD \Rightarrow \angle \phi = \angle \theta \Rightarrow AOHP$ εγγράψιμμο $\Rightarrow \angle \omega = \angle x= \angle y$

Άρα BAIO

εγγράψιμμο $\Rightarrow \angle BIA= \angle \theta \Rightarrow N,I,P,O$ ομοκυκλικά

Επιπλέον $\angle OBA= \angle OIP$ και $\angle OBA+OIP=180^0 \Rightarrow O,I,P,C$

ομοκυκλικά ,συνεπώς O,I,P,C,N

ομοκυκλικά

: ομοκυκλική πεντάδα.png (43.91 KiB) Προβλήθηκε 781 φορές

Ομοκυκλική πεντάδα

Ομοκυκλική πεντάδα

Re: Ομοκυκλική πεντάδα

Re: Ομοκυκλική πεντάδα

Re: Ομοκυκλική πεντάδα

Μέλη σε σύνδεση