75%

KARKAR · #1

: 75%.png (8.66 KiB) Προβλήθηκε 756 φορές

Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ABC

, το

είναι το μέσο της υποτείνουσας

.

Το

είναι σημείο της

, ώστε η

να εφάπτεται του εγκύκλου του τριγώνου AMC

.

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{BC}$ .

#2

Ο κύκλος $\left( {I,r} \right)$ είναι εγγεγραμμένος στο $\vartriangle MCA$ . Ας είναι BM = k = MC

. Τότε η περίμετρός του τριγώνου αυτού είναι , $2s = 2k + k\sqrt 2 = k\left( {2 + \sqrt 2 } \right)$ .

Η ακτίνα $r = ME = s - AC = s - k\sqrt 2 \Rightarrow r = k\left( {1 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\,\,\left( 1 \right)$ και $BE = k + r = k\left( {2 - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\,\,\left( 2 \right)$

: 75 τοις 100_ok.png (21.6 KiB) Προβλήθηκε 681 φορές

$\tan \omega = \dfrac{r}{{BE}}\mathop = \limits^{\left( 1 \right)\,,\,\left( 2 \right)} \dfrac{{3 - \sqrt 2 }}{7}\,\,$ , $\cos 2\omega = \dfrac{{1 - {{\tan }^2}\omega }}{{1 + {{\tan }^2}\omega }} = \dfrac{{4 + \sqrt 6 }}{2}$ , $\sin 2\omega = \sqrt {1 - {{\cos }^2}2\omega } = \dfrac{{4 - \sqrt 2 }}{6}$ ,

$\sin \theta = \sin \left( {45^\circ - 2\omega } \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos 2\omega - \sin 2\omega } \right)$ . Δηλαδή : $\sin \theta = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {4 + \sqrt 2 - 4 + \sqrt 2 } \right)}}{{12}} = \dfrac{1}{3}$ .

Τώρα εύκολα από το στο $\vartriangle ABS$ αν θέσω : $BS = 3x\, \Rightarrow \,AS = x$ από το Π. Θ. προκύπτει : k = 2x

, οπότε

$\boxed{\dfrac{{BS}}{{BC}} = \dfrac{{3x}}{{2k}} = \dfrac{{3x}}{{4x}} = \dfrac{3}{4}}$ .

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 22, 2022 8:28 pm
75%.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , το είναι το μέσο της υποτείνουσας .

Το είναι σημείο της , ώστε η να εφάπτεται του εγκύκλου του τριγώνου .

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{BC}$ .

Εστω

$AN=NC=y=\dfrac{b}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4},ST=SN=x,BT=BL=a-y=a.\dfrac{4-\sqrt{2}}{2}, SBA,SB^{2}=b^{2}+(\dfrac{b}{2}-x)^{2},(1), BS^{2}=(a+x-\dfrac{b}{2})^{2} \Leftrightarrow SB^{2}=(x+b(\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}))^{2},(2), (1),(2)\Rightarrow x=b.\dfrac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}, BS=\dfrac{3a}{4}, \dfrac{SB}{BC}=\dfrac{3}{4}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Φεβ 22, 2022 8:28 pm
75%.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , το είναι το μέσο της υποτείνουσας .

Το είναι σημείο της , ώστε η να εφάπτεται του εγκύκλου του τριγώνου .

Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{BS}{BC}$ .

Είναι προφανές ότι M,O,D

συνευθειακά και $AD=AE= \dfrac{b}{2} \Rightarrow OQ= \dfrac{a-b}{2} \Rightarrow BQ= \dfrac{a}{2}+\dfrac{a-b}{2}= \dfrac{2a-b}{2}$

Έτσι ,με $a=b \sqrt{2}$ εύκολα $tan \omega = \dfrac{3- \sqrt{2} }{7} \Rightarrow tan2 \omega = \dfrac{7(3- \sqrt{2} )}{19+3 \sqrt{2} }$

Είναι, $tan \phi =tan(45^0-2 \omega )=... \dfrac{ \sqrt{2} }{4} = \dfrac{AS}{b}$

$\dfrac{BS^2}{BC^2} = \dfrac{b^2+AS^2}{2b^2}= \dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{16}= \dfrac{9}{16} \Rightarrow \dfrac{BS}{BC} = \dfrac{3}{4}$

: 75%.png (26.6 KiB) Προβλήθηκε 640 φορές

75%

75%

Re: 75%

Re: 75%

Re: 75%

Μέλη σε σύνδεση