Ίσο με το ύψος

#1

: Ίσο με το ύψος.png (14.25 KiB) Προβλήθηκε 684 φορές

είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου ABC

και

το μέσο της υποτείνουσας BC.

Ένας κύκλος που διέρχεται

από τα σημεία A, D

τέμνει τις AB, AC

στα

αντίστοιχα. Αν NC=2DM,

α) να δείξετε ότι DA=DF

και β) να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος

συναρτήσει των a,c.

#2

george visvikis έγραψε: Παρ Απρ 22, 2022 11:54 am Ίσο με το ύψος.png
είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου και το μέσο της υποτείνουσας Ένας κύκλος που διέρχεται

από τα σημεία τέμνει τις στα αντίστοιχα. Αν α) να δείξετε ότι

και β) να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος συναρτήσει των

Έστω ότι

βρίσκεται ανάμεσα στα D,M

τότε

και αν

είναι το συμμετρικό του

ως προς το

θα είναι

και συνεπώς το

βρίσκεται στην προέκταση του

προς το

. (Παρόμοια συμπεράσματα έχουμε αν το

βρίσκεται στην προέκταση του

προς το

και φυσικά αν $N\equiv M$ (ειδική περίπτωση που το πρόβλημα είναι προφανές).

Το τρίγωνο $\vartriangle ATM$ είναι ισοσκελές (

μεσοκάθετη της

) και

οπότε $BD=DN\overset{AD\bot BN}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle DAF=\angle ABN=\angle AMB\equiv \angle AND=\angle AFD\Rightarrow DA=DF$

: ίσο με το ύψος.png (25.13 KiB) Προβλήθηκε 660 φορές

Επίσης είναι: $\angle BED=\angle AFD=\angle EBD=\angle DAF$ και συνεπώς τα ισοσκελή τρίγωνα $\vartriangle DBE,\vartriangle DAF$ είναι όμοια , άρα $\dfrac{BE}{AF}=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{c}{b}:\left( 1 \right)$ και με $NF\parallel AB$ (κάθετες στην

) θα είναι: $\dfrac{AF}{BN}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{b}{a}\Rightarrow AF=\dfrac{b}{a}\cdot 2BD:\left( 2 \right)$ και ${{c}^{2}}=BD\cdot a\Rightarrow BD=\dfrac{{{c}^{2}}}{a}\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,AF=\dfrac{2b{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}\overset{\left( 1 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,BE=\dfrac{c}{b}\cdot \dfrac{2b{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}=\dfrac{2{{c}^{3}}}{{{a}^{2}}}$ και όλα τα ζητούμενα έχουν αποδειχθεί και υπολογιστεί.

#3

george visvikis έγραψε: Παρ Απρ 22, 2022 11:54 am Ίσο με το ύψος.png
είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου και το μέσο της υποτείνουσας Ένας κύκλος που διέρχεται

από τα σημεία τέμνει τις στα αντίστοιχα. Αν α) να δείξετε ότι

και β) να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος συναρτήσει των

Επειδή : $NC = 2DM \Leftrightarrow NM + MC = 2\left( {DN + NM} \right) \Leftrightarrow MC = 2DN + NM$ , οπότε αναγκαστικά $\boxed{DB = DN}\,\,\left( 1 \right)$ .

Θέτω: $BD = DN = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE = y$ . Επειδή $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$ (βαίνουν σε ίδιο τόξο ) θα είναι $\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ .

: ϊσο με το ύψος.png (22.63 KiB) Προβλήθηκε 608 φορές

Όμως το τετράπλευρο AENF

είναι ορθογώνιο και το σημείο τομής

, των διαγωνίων του είναι το κέντρο του κύκλου $\left( {A,E,D,N,F} \right)$ .

Οπότε οι $KF\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KA$ είναι ακτίνες με άμεση συνέπεια : $\widehat {DAF} = \widehat {DFA} \Leftrightarrow DA = DF$ .

Επειδή τώρα EN//AC

θα έχω ταυτόχρονα:

$\left\{ \begin{gathered} x = \frac{{{c^2}}}{a} \hfill \\ \frac{y}{c} = \frac{{2x}}{a} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \boxed{y = \frac{{2{c^3}}}{{{a^2}}}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

george visvikis έγραψε: Παρ Απρ 22, 2022 11:54 am Ίσο με το ύψος.png
είναι το ύψος ορθογωνίου τριγώνου και το μέσο της υποτείνουσας Ένας κύκλος που διέρχεται

από τα σημεία τέμνει τις στα αντίστοιχα. Αν α) να δείξετε ότι

και β) να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος συναρτήσει των

Έστω

μέσον της

.Τότε, $MQ+MN=MD=MN+ND\Rightarrow MQ=DN$

Ακόμη, $BD+DM=BM=MC=MQ+QC=MQ+MD \Rightarrow BD=MQ=DN$

και όλες οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες

$AD^2=BD.DC=BN.DC=DF^2\Rightarrow AD=DF$

$BE.c=2BD^2 =2 (\dfrac{c^2}{a})^2 \Rightarrow BE=\dfrac{2c^3}{a^2}$

: ίσο με το ύψος.png (25.26 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

#5

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις. Ας δούμε και μία λίγο διαφορετική προσέγγιση με χρήση του 2ου θεωρήματος των διαμέσων.

: Ίσο με το ύψος.β.png (17.46 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές

α) $\displaystyle {b^2} - {c^2} = 2a(DM) = a(NC) = a(DC - DN) \Leftrightarrow \frac{{{b^2}}}{a} - \frac{{{c^2}}}{a} = DC - DN \Leftrightarrow$

$\displaystyle DC - BD = DC - DN \Leftrightarrow BD = DN \Leftrightarrow AB = AN$ και από το εγγεγραμμένο ADNF

θα είναι $\displaystyle A\widehat FD = A\widehat ND = \widehat B = D\widehat AF \Leftrightarrow$ $\boxed{DA=DF}$

Το β) όπως ο Μιχάλης.

Ίσο με το ύψος

Ίσο με το ύψος

Re: Ίσο με το ύψος

Re: Ίσο με το ύψος

Re: Ίσο με το ύψος

Re: Ίσο με το ύψος

Μέλη σε σύνδεση