Νέα γωνία

KARKAR · #1

: Νέα γωνία.png (11.81 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

Το

είναι το κέντρο του μεγάλου ημικυκλίου και ο κύκλος κέντρου

,

εφάπτεται στο μικρό . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Μάιος 11, 2022 9:42 am Νέα γωνία.pngΤο είναι το κέντρο του μεγάλου ημικυκλίου και ο κύκλος κέντρου ,

εφάπτεται στο μικρό . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

: Νέα γωνία.Κ.png (17.15 KiB) Προβλήθηκε 732 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Μάιος 11, 2022 9:42 am Νέα γωνία.pngΤο είναι το κέντρο του μεγάλου ημικυκλίου και ο κύκλος κέντρου ,

εφάπτεται στο μικρό . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Νομίζω ειναι εύκολο απο πυθαγόρειο θεώρημα να υπολογίσουμε την ακτίνα ( αρα το

) του πανω κύκλου συναρτήσει της ακτίνας του μεγάλου ημικυκλιου και θα βγει οσο η πλευρά κανονικού δεκαγωνου εγγεγραμμένου στον μεγάλο κύκλο και κάπου εδω τελειώνουμε .

Ειμαι εκτός και γράφω απο το τηλέφωνο . Οταν επιστρέψω το βραδυ θα το γράψω αναλυτικά ( ειναι μισή γραμμή !)

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Μάιος 11, 2022 9:42 am Νέα γωνία.pngΤο είναι το κέντρο του μεγάλου ημικυκλίου και ο κύκλος κέντρου ,

εφάπτεται στο μικρό . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας $\theta$ .

Έστω

η ακτίνα του μεγάλου ημικυκλίου και

η ακτίνα του κύκλου. Με Π. Θ στο KMO

έχω $\displaystyle {\left( {\frac{R}{2} + r} \right)^2} = {R^2} + \frac{{{R^2}}}{4} \Leftrightarrow {r^2} + Rr - {R^2} = 0 \Leftrightarrow r = \frac{R}{2}\left( {\sqrt 5 - 1} \right)$

: Νέα γωνία.Κ2.png (17.22 KiB) Προβλήθηκε 707 φορές

Από Νόμο ημιτόνων στο AMS

είναι $\displaystyle \frac{{AM}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{MS}}{{\sin \omega }} \Leftrightarrow 2R = \frac{{R\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{2\sin \omega }} \Leftrightarrow \sin \omega = \frac{{\sqrt 5 - 1}}{4}$

Άρα, $\displaystyle \omega = 18^\circ$ κι επειδή $\displaystyle \omega + \theta = 45^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta=27^\circ}}$

KARKAR · #5

Μας παρουσιάζεται εδώ μια ευκαιρία να υπολογίσουμε ( και μάλιστα με δύο τρόπους ) ,

τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των $27^{\circ}$ . Ας το κάνουμε !

#6

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 12, 2022 7:29 am Μας παρουσιάζεται εδώ μια ευκαιρία να υπολογίσουμε ( και μάλιστα με δύο τρόπους ) ,

τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των $27^{\circ}$ . Ας το κάνουμε !

Θέτω

και είναι $\displaystyle \cos 27^\circ = \frac{x}{{2R}}.$ Εφαρμόζω νόμο συνημιτόνου στο AMS:

$\displaystyle 2{R^2} = \frac{{{R^2}}}{4}\left( {6 - 2\sqrt 5 } \right) + {x^2} - 2x \cdot \frac{R}{2}\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - R\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sqrt 2 x - {R^2}\left( {\sqrt 5 + 1} \right) = 0$

απ' όπου $\displaystyle x = \frac{{R\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\sqrt 2 + 2R\sqrt {5 + \sqrt 5 } }}{4} = \frac{{2R\sqrt {3 - \sqrt 5 } + 2R\sqrt {5 + \sqrt 5 } }}{4} = \frac{R}{2}\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } + \sqrt {5 + \sqrt 5 } } \right)$

Άρα, $\boxed{\cos 27^\circ = \frac{1}{4}\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } + \sqrt {5 + \sqrt 5 } } \right)}$ Τα υπόλοιπα από τις γνωστές τριγωνομετρικές ταυτότητες.

$\boxed{\sin 27^\circ = \frac{1}{4}\left( {\sqrt {5 + \sqrt 5 } - \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)}$ και $\boxed{\tan 27^\circ = \frac{{4 - \sqrt {10 - 2\sqrt 5 } }}{{\sqrt 5 + 1}}}$

#7

2ος τρόπος με Θεώρημα Πτολεμαίου στο AMSB:

$\displaystyle 2R \cdot \frac{R}{2}\left( {\sqrt 5 - 1} \right) + SBR\sqrt 2 = ASR\sqrt 2 .$ Διαιρώ με

και έχω:

$\displaystyle \frac{{2R}}{{AS}}\left( {\sqrt 5 - 1} \right) + \frac{{SB}}{{AS}}\sqrt 2 = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{2\cos 27^\circ }} + \sqrt 2 \tan 27^\circ = \sqrt 2.$ Θέτω $\displaystyle \cos 27^\circ = t$

$\displaystyle \frac{{\sqrt 5 - 1}}{{2t}} + \frac{{\sqrt 2 \sqrt {1 - {t^2}} }}{t} = \sqrt 2 \Leftrightarrow ...$ $\displaystyle 8{t^2} - 2\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - 1} \right)t - \left( {\sqrt 5 + 1} \right) = 0$

απ' όπου βρίσκω το $\displaystyle t=\cos 27^\circ ,$ κλπ.

Νέα γωνία

Νέα γωνία

Re: Νέα γωνία

Re: Νέα γωνία

Re: Νέα γωνία

Re: Νέα γωνία

Re: Νέα γωνία

Re: Νέα γωνία

Μέλη σε σύνδεση