Κι όμως μπορεί να βρεθεί.

Henri van Aubel · #1

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB=AC)

και ένα σημείο

στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε $\measuredangle DBC=\measuredangle DCB-\measuredangle ACD=30^{0}.$ Να αποδειχθεί ότι $\measuredangle ADC=150^{0}.$
Δεκτές οι λύσεις από όλους.

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλησπέρα! Δίνω σε hide μόνο σχήμα

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Θα επανέλθω, αν δεν καλυφθεί η απόδειξη. Φιλικά, Γιώργος

Henri van Aubel · #3

Ευχαριστώ πολύ για την ενασχόλησή σας με το θέμα και πολύ ωραία προσέγγιση . Επί της ουσίας έχετε αποδείξει ότι το D είναι το έκκεντρο του τριγώνου APC και το ζητούμενο είναι άμεσο. Έχω κατά νου και μία άλλη απόδειξη, κι αυτή εξίσου απλή.

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 201.png (21.79 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές

Η λύση, αργότερα.

Henri van Aubel · #5

Αυτή ήταν η δεύτερη απόδειξη που είχα κατά νου.

Φανης Θεοφανιδης · #6

Μα την λύση δεν την έχω γράψει ακόμη.

Henri van Aubel · #7

Ναι, αλλά την κατάλαβα. Έχεις κάνει το εξής:
Ισόπλευρο APC,

άρα

περίκεντρο του BPC,

άμεση συνέπεια $\measuredangle PBC=30^{0}=\measuredangle DBC\Rightarrow D\in BP.$
Τώρα $\measuredangle PDC=30^{0}+\theta =30^{0}+(30^{0}+\varphi )=60^{0}+\varphi =\measuredangle PCD\Rightarrow PD=PC,$ άρα

περίκεντρο του BDC,

άμεση συνέπεια το αποδεικτέο.

Φανης Θεοφανιδης · #8

Ακριβώς.

Henri van Aubel · #9

Ας δώσω πλήρη απόδειξη στην λύση του κύριου Γιώργου.
Η μεσοκάθετος της

τέμνει την

στο

Τότε $\angle PBC=\angle PCB=30^{0},$ άρα $\angle DPC=60^{0}.$
Επίσης $\angle APD=\angle BAP+(\angle B-30^{0})=60^{0}.$
Άρα η

διχοτομεί τη γωνία $\angle APC.$
Ακόμα $\angle ACD+\angle DCB=2\angle ACD+30^{0}=\angle C\Rightarrow \angle ACD=\frac{1}{2}\angle ACP.$
Άρα η

διχοτομεί τη γωνία $\angle ACP.$
Οπότε το

είναι το έκκεντρο του τριγώνου APC,

έτσι $\angle ADC=150^{0}.$

Κι όμως μπορεί να βρεθεί.

Κι όμως μπορεί να βρεθεί.

Re: Κι όμως μπορεί να βρεθεί.

Re: Κι όμως μπορεί να βρεθεί.

Re: Κι όμως μπορεί να βρεθεί.

Re: Κι όμως μπορεί να βρεθεί.

Re: Κι όμως μπορεί να βρεθεί.

Re: Κι όμως μπορεί να βρεθεί.

Re: Κι όμως μπορεί να βρεθεί.

Re: Κι όμως μπορεί να βρεθεί.

Μέλη σε σύνδεση