Άθροισμα γινομένων και συνημίτονο

#1

: Άθροισμα γινομένων και συνημίτονο.png (16.63 KiB) Προβλήθηκε 568 φορές

Δίνεται τρίγωνο ABC

εγγεγραμμένο σε κύκλο $(\omega)$ και ένα σημείο

της πλευράς BC,

ώστε

Επί της

θεωρώ τυχόν σημείο

και έστω

το συμμετρικό του ως προς

Οι

τέμνουν τον $(\omega)$ στα E, F

αντίστοιχα.

α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης $AK\cdot AE+AF\cdot AL.$

β) Αν επιπλέον AC=7

να βρείτε το $\displaystyle \cos \theta,$ όπου $\displaystyle \theta = B\widehat AD.$

STOPJOHN · #2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 21, 2023 7:41 pm
Άθροισμα γινομένων και συνημίτονο.png
Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο $(\omega)$ και ένα σημείο της πλευράς ώστε

Επί της θεωρώ τυχόν σημείο και έστω το συμμετρικό του ως προς

Οι τέμνουν τον $(\omega)$ στα αντίστοιχα.

α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης $AK\cdot AE+AF\cdot AL.$

β) Αν επιπλέον να βρείτε το $\displaystyle \cos \theta,$ όπου $\displaystyle \theta = B\widehat AD.$

α) $FL.LA=LC(LC+10)\Leftrightarrow AL^{2}-AL.AF=LC.(LC+10),(1), LC=KD-2,(*), (1),(*)\Rightarrow AL.AF=AL^{2}-(KD-2)(KD+8),(3),$

Θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο

$AK^{2}+AL^{2}=72+2KD^{2},(2), AK.KE=BK.KC\Leftrightarrow AK(AE-AK)=KB.KC\Leftrightarrow AK.AE=AK^{2}+(8-KD)(KD+2),(4), (2),(3),(4)\Rightarrow AL.AF+AK.AE=72+32=104 b) cos\hat{C}=\dfrac{17}{28},AB=BD=8,cos\theta =\dfrac{3}{8}$

#3

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 21, 2023 7:41 pm
Άθροισμα γινομένων και συνημίτονο.png
Δίνεται τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο $(\omega)$ και ένα σημείο της πλευράς ώστε

Επί της θεωρώ τυχόν σημείο και έστω το συμμετρικό του ως προς

Οι τέμνουν τον $(\omega)$ στα αντίστοιχα.

α) Να βρείτε την τιμή της παράστασης $AK\cdot AE+AF\cdot AL.$

β) Αν επιπλέον να βρείτε το $\displaystyle \cos \theta,$ όπου $\displaystyle \theta = B\widehat AD.$

$\left\{ \begin{gathered} AK \cdot KE = \left( {8 - x} \right)\left( {2 + x} \right) = 16 - 6x - {x^2} \hfill \\ LE \cdot LA = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 8} \right) = - 16 + 6x + {x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\left( 1 \right)$ . Έτσι :

$\left\{ \begin{gathered} AK \cdot AE = AK \cdot \left( {AK + KE} \right) = A{K^2} + \left( {8 - x} \right)\left( {2 + x} \right) = A{K^2} + 16 - 6x - {x^2} \hfill \\ AF \cdot AL = AL\left( {AL - EL} \right) = A{L^2} - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 8} \right) = A{L^2} + 16 - 6x - {x^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,$

: Αθροισμα γινομένων και συνημίτονο_a.png (16.74 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές

Προσθέτω κατά μέλη τις πιο πάνω :

$AK \cdot AE + AF \cdot AL = 32 - 2{x^2} + A{K^2} + A{L^2} = 32 - 2{x^2} + 2 \cdot {6^2} + 2{x^2} = 104$

β) Εδώ έχω σταθερό τρίγωνο .

: Αθροισμα γινομένων και συνημίτονο_b.png (9.2 KiB) Προβλήθηκε 475 φορές

Από ν. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ έχω : ${c^2} = 100 + 49 - 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot \dfrac{{17}}{{28}} = 149 - 85 = 64$ και άρα BA = BD = 8

.

Στο ισοσκελές $\vartriangle BDA$ το ύψος

είναι και διάμεσος και οι γωνίες της βάσης ίσες .

Οπότε : $\boxed{\cos \omega = \frac{{MD}}{{BD}} = \frac{3}{8}}$

Άθροισμα γινομένων και συνημίτονο

Άθροισμα γινομένων και συνημίτονο

Re: Άθροισμα γινομένων και συνημίτονο

Re: Άθροισμα γινομένων και συνημίτονο

Μέλη σε σύνδεση