Παράλληλοι τόποι

KARKAR · #1

Με αφορμή το θέμα του Ορέστη αυτό :

: Παράλληλοι τόποι.png (18.2 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές

Προεκτείνουμε τις πλευρές OA , OB

τριγώνου

κατά ίσα ( μεταβλητά ) τμήματα AA1 , BB1

.

α) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του μέσου

του τμήματος A1B1

.

β) Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής

, των

.

γ) Εξετάστε αν ο πρώτος τόπος είναι μεσοπαράλληλος της διχοτόμου

και του δεύτερου τόπου .

abgd · #2

: gt.png (72.09 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές

Στο σχήμα έχω αντί για το σημείο του σχήματος της άσκησης το σημείο ...

Χρησιμοποιώντας το γ) ερώτημα ως βοηθητικό!

Έστω

το μέσο της

,

$\bf{PB//OD//AT}$ ,

$\bf OB=a, OA=b, BB_1=AA_1=k$

α) Με το βοήθεια του νόμου των ημιτόνων στα τρίγωνα $B_1BP, \ \ A_1AT$ δείχνουμε εύκολα ότι B_1P=A_1T

.

Έτσι το μέσον

του

είναι και μέσο του

.

Στο τραπέζιο ATPB

το τμήμα

είναι διάμεσος. Οπότε SK//OD

.

Άρα ο γ.τ. των μέσων των τμημάτων A_1B_1

είναι ευθεία παράλληλη στη διχοτόμο

η οποία διέρχεται από το μέσο του

.

β) Η ευθεία A_1MB

είναι διατέμνουσα του τριγώνου AOB_1

και έτσι:

$\displaystyle{\frac{OA_1}{A_1A}\cdot\frac{AM}{MB_1}\cdot\frac{B_1B}{BO}=1\Rightarrow \frac{b+k}{k}\cdot\frac{AM}{MB_1}\cdot\frac{k}{a}=1 }$

Άρα $\displaystyle{\boxed{\frac{MB_1}{MA}=\frac{b+k}{a}} \bf(1) }$

Από θεώρημα διχοτόμων στο τρίγωνο $\displaystyle{OAB_1}$ είναι:

$\displaystyle{\frac{HB_1}{HA}=\frac{k+a}{b} \Rightarrow \frac{MB_1-HA+MA}{HA}=\frac{a+k}{b}}$

Διαιρώντας τους όρους του πρώτου κλάσματος με $\displaystyle{MA}$ και χρησιμοποιώντας την $\displaystyle{\bf(1)}$ έχουμε:

$\displaystyle{\boxed{\frac{AH}{AM}=\frac{b}{a}}\bf(2)}$

Αν τώρα $\displaystyle{L}$ σημείο της $\displaystyle{AB}$ τέτοιο ώστε: $\displaystyle{LS=SD}$ , με τη βοήθεια του θεωρήματος διχοτόμου στο τρίγωνο $\displaystyle{OAB}$ είναι:

$\displaystyle{\frac{DA}{DB}=\frac{b}{a}\Rightarrow \boxed{\frac{AD}{AL}=\frac{b}{a}}\bf (3)}$

Από τις $\displaystyle{\bf(2), (3)}$ είναι $\displaystyle{LM//HD}$ δηλαδή

ο γ.τ. των σημείων $\displaystyle{M}$ είναι ευθεία παράλληλη στη διχοτόμο $\displaystyle{OD}$ η οποία διέρχεται από το $\displaystyle{L}$ .

γ) Άμεση συνέπεια των α),β).

Παράλληλοι τόποι

Παράλληλοι τόποι

Re: Παράλληλοι τόποι

Μέλη σε σύνδεση