Ψάχνοντας το τεσσάρι

KARKAR · #1

: Ψάχνοντας το τεσσάρι.png (9.44 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AB=6

ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο

από το οποίο φέρουμε το

εφαπτόμενο τμήμα

και έστω

το μέσο του

. Για ποια θέση του

, προκύπτει : BM=4

;

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 18, 2023 10:19 am Ψάχνοντας το τεσσάρι.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο από το οποίο φέρουμε το

εφαπτόμενο τμήμα και έστω το μέσο του . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Με Πυθαγόρειο στο ATB

και θεώρημα διαμέσων, έχω:

: Το 4άρι.png (13.54 KiB) Προβλήθηκε 713 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} A{T^2} = 36 - B{T^2} \hfill \\ B{T^2} + 36 = 32 + \frac{{A{T^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow B{T^2} = \frac{{28}}{3}$

Μπορώ λοιπόν να εντοπίσω το

Στη συνέχεια η εφαπτομένη στο

τέμνει την

στο ζητούμενο σημείο

Εδώ η άσκηση τελειώνει. Αν όμως θέλουμε υποχρεωτικά να βρούμε το

τότε από

και

Stewart στο ATS

προκύπτει $\boxed{x=\dfrac{42}{13}}$

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 18, 2023 10:19 am Ψάχνοντας το τεσσάρι.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο από το οποίο φέρουμε το

εφαπτόμενο τμήμα και έστω το μέσο του . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Είναι

$TS^{2}=x(x+6),$

Από τα όμοια τρίγωνα

$TBS,AST,\dfrac{TB}{AT}=\dfrac{x}{ST}=\dfrac{ST}{x+6},(1),$

Από το θεώρημα των διαμέσων στο τρίγωνο

$ABT,AT=\dfrac{4\sqrt{5}}{\sqrt{3}}, TB=2\sqrt{\dfrac{7}{3}}\Rightarrow \dfrac{BT}{AT}=\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}, x=\dfrac{42}{13}$

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 18, 2023 10:19 am Ψάχνοντας το τεσσάρι.png[/attachment]Στην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο από το οποίο φέρουμε το

εφαπτόμενο τμήμα και έστω το μέσο του . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Χριστός Ανέστη, χρόνια πολλά!

: 2023-04-18_12-52-35.jpg (41.73 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

Θεώρημα Stewart στο $\triangle TOC:$ $9(x + 3)(6 - x) + 9({x^2} + 6x) = 64(x + 3) + 9(6 - x) \Leftrightarrow x = \dfrac{{42}}{{13}}$

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Απρ 18, 2023 10:19 am Ψάχνοντας το τεσσάρι.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , κινείται σημείο από το οποίο φέρουμε το

εφαπτόμενο τμήμα και έστω το μέσο του . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Θα συμφωνήσω με το Γιώργο λίγο διαφορετικά σε διαδικασία .

Έστω ,

το κέντρο του ημικυκλίου ,

το μέσο της ακτίνας

,

η προβολή του

στην

.

Θέτω : $AM = m\,\,,\,\,OP = t$ . Από το Θ. συνημίτονου στα $\vartriangle MKB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle MAB$ με κοινή την γωνία , $\widehat {MBA} = \theta$ έχω:

: Ψάχνοντας το τέσσερα_για κατασκευή.png (16.75 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

$\dfrac{{M{B^2} + K{B^2} - K{M^2}}}{{2MB \cdot KB}} = \dfrac{{M{B^2} + A{B^2} - A{M^2}}}{{2MB \cdot AB}} \Rightarrow \dfrac{{16 + 6 \cdot 3}}{{36}} = \dfrac{{16 + 36 - {m^2}}}{{48}} \Rightarrow \boxed{{m^2} = \dfrac{{20}}{3}}$

Τώρα από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο : $\left( {O,P,T,P} \right)$ προκύπτει :

$2A{M^2} = AO\left( {AO + OP} \right) \Rightarrow 2 \cdot \dfrac{{20}}{3} = 3\left( {3 + t} \right) \Rightarrow \boxed{t = \dfrac{{13}}{9}}$ .

Υψώνω κάθετο στο

επί την

και βρίσκω το σημείο επαφής

Παρατήρηση :

Η τετράδα , $\left( {A,B\backslash P,S} \right)$ είναι αρμονική και άρα : $\dfrac{{BP}}{{BS}} = \dfrac{{AP}}{{AS}} \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{{14}}{9}}}{x} = \dfrac{{3 + \dfrac{{13}}{9}}}{{6 + x}} \Rightarrow ...$

Ψάχνοντας το τεσσάρι

Ψάχνοντας το τεσσάρι

Re: Ψάχνοντας το τεσσάρι

Re: Ψάχνοντας το τεσσάρι

Re: Ψάχνοντας το τεσσάρι

Re: Ψάχνοντας το τεσσάρι

Μέλη σε σύνδεση