Ζητώ τα ελάχιστα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 17854
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ζητώ τα ελάχιστα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR »

Τα  ελάχιστα.png
Τα ελάχιστα.png (11.79 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές
Στο παραλληλόγραμμο ABCD του σχήματος , θεωρούμε σημεία S , T των πλευρών

AB , BC αντίστοιχα , τέτοια ώστε : AS=BT . Α) Βρείτε το ελάχιστο του ST .

Β) Αν το σημείο M είναι το μέσο του τμήματος ST , βρείτε το ελάχιστο του DM .

Ετικέτες:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10965
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ζητώ τα ελάχιστα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros »

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 11, 2023 7:30 am Τα ελάχιστα.pngΣτο παραλληλόγραμμο ABCD του σχήματος , θεωρούμε σημεία S , T των πλευρών

AB , BC αντίστοιχα , τέτοια ώστε : AS=BT . Α) Βρείτε το ελάχιστο του ST .

Β) Αν το σημείο M είναι το μέσο του τμήματος ST , βρείτε το ελάχιστο του DM .
Ζητώ τα ελάχιστα_a.png
Ζητώ τα ελάχιστα_a.png (7.43 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές
Αν AS = BT = x\,\,,\,\,0 < x < 5 είναι

α)S{T^2} = {x^2} + {\left( {8 - x} \right)^2} - 2x\left( {8 - x} \right)\cos B = \dfrac{4}{5}\left( {{x^2} - 8x + 80} \right) .

Για x = \dfrac{{ - \left( { - 8} \right)}}{2} = 4 παρουσιάζει ελάχιστη τιμή , \boxed{S{T_{\min }} = \dfrac{{16}}{{\sqrt 5 }}}.

β)
Ζητώ τα ελάχιστα_b.png
Ζητώ τα ελάχιστα_b.png (14.58 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές
Κατά την κίνηση του S το M ανήκει στην σταθερή ευθεία , έστω \varepsilon ,που είναι παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας \widehat {A_{}^{}}.

Το DM γίνεται ελάχιστο εφ’ όσον είναι η απόσταση του D απ’ αυτήν.

Επειδή : \tan A = \dfrac{4}{3}\,\, θα είναι \tan A = \dfrac{{2u}}{{1 - {u^2}}}\,\, \Rightarrow u =  - 2 ή u = \dfrac{1}{2} κι αφού πρόκειται για οξεία γωνία έχω: \boxed{\tan \dfrac{A}{2} = \dfrac{1}{2}}.

Η \varepsilon :\,\,\,x - 2y - 4 = 0\,\,\boxed{\kappa \alpha \iota \,\,d\left( {D,\varepsilon } \right) = \dfrac{{\left| {3 - 8 - 4} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{9}{{\sqrt 5 }}}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15020
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ζητώ τα ελάχιστα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis »

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 11, 2023 7:30 am Τα ελάχιστα.pngΣτο παραλληλόγραμμο ABCD του σχήματος , θεωρούμε σημεία S , T των πλευρών

AB , BC αντίστοιχα , τέτοια ώστε : AS=BT . Α) Βρείτε το ελάχιστο του ST .

Β) Αν το σημείο M είναι το μέσο του τμήματος ST , βρείτε το ελάχιστο του DM .
Ζητώ τα ελάχιστα.png
Ζητώ τα ελάχιστα.png (13.4 KiB) Προβλήθηκε 501 φορές
α) \displaystyle S{T_{\min }} = \frac{{16\sqrt 5 }}{5}...... β) \displaystyle D{M_{\min }} = \frac{{9\sqrt 5 }}{5}

Στο α) έχω ίδια λύση με τον φίλτατο Νίκο.

β) Με S(x,0) εύκολα βρίσκω \displaystyle T\left( {\frac{{40 + 3x}}{5},\frac{{4x}}{5}} \right), οπότε \displaystyle M\left( {\frac{{4x + 20}}{5},\frac{{2x}}{5}} \right)

\displaystyle D{M^2} = {\left( {\frac{{4x + 20}}{5} - 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{2x}}{5} - 4} \right)^2} = \frac{5}{{25}}(4{x^2} - 8x + 85), που ως τριώνυμο

παρουσιάζει για \boxed{x=1} ελάχιστο ίσο με \boxed{ D{M_{\min }} = \frac{{9\sqrt 5 }}{5}}
Απάντηση

Επιστροφή στο “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες