Αναπάντεχη ισότητα

KARKAR · #1

: Αναπάντεχη ισότητα.png (20.08 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

Ο κύκλος

έχει το κέντρο του πάνω σε ( μεγαλύτερο ) κύκλο (O)

, τον οποίο τέμνει στα σημεία A , B

.

Οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο

, είναι οι χορδές

και

, το δε τμήμα

τέμνει τον (K)

στο σημείο

. Η

τέμνει ξανά τον (O)

στο σημείο

. Δείξτε ότι : AM=MS

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 12, 2023 1:28 pm Αναπάντεχη ισότητα.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω σε ( μεγαλύτερο ) κύκλο , τον οποίο τέμνει στα σημεία .

Οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο , είναι οι χορδές και , το δε τμήμα τέμνει τον

στο σημείο . Η τέμνει ξανά τον στο σημείο . Δείξτε ότι : .

: Αναπάντεχη ισότητα_Λύση.png (27.69 KiB) Προβλήθηκε 586 φορές

Προφανές ότι η

εφάπτεται του μικτού κύκλου και άρα η

είναι ο φορέας της , από το $T\,\,,$ συμμετροδιαμέσου του $\vartriangle TAB$ .

Η δέσμη : $\displaystyle \left( {BP,BA\backslash BM,BT} \right)$ είναι αρμονική και η ευθεία PS//MB

( διαδοχικά , $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_4}}$ ) άρα η

παράλληλη στην ακτίνα

της δέσμης , συνεπώς AM = MS

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 12, 2023 1:28 pm Αναπάντεχη ισότητα.pngΟ κύκλος έχει το κέντρο του πάνω σε ( μεγαλύτερο ) κύκλο , τον οποίο τέμνει στα σημεία .

Οι εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο , είναι οι χορδές και , το δε τμήμα τέμνει τον

στο σημείο . Η τέμνει ξανά τον στο σημείο . Δείξτε ότι : .

Οι πράσινες γωνίες είναι ίσες ως συμπληρωματικές της $O\widehat AK.$ Άρα,

$\displaystyle A\widehat NP = A\widehat SP = \frac{{P\widehat OA}}{2} = \frac{{A\widehat KT}}{2} = A\widehat MT \Rightarrow AM = AN$

: Αναπάντεχη ισότητα.png (27.98 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές

Εξάλλου, επειδή η

είναι διάμετρος, $KN\bot PT,$ απ' όπου MN=NT.

Από τη σχέση εγγεγραμμένης

και γωνίας χορδής εφαπτομένης, εύκολα προκύπτει ότι τα τρίγωνα APM, ATN

είναι όμοια και έχω:

$\displaystyle \frac{{PM}}{{AM}} = \frac{{AN}}{{NT}} = \frac{{AM}}{{NT}} \Leftrightarrow A{M^2} = PM \cdot NT = PM \cdot MN = AM \cdot MS \Leftrightarrow$ $\boxed{AM=MS}$

Αναπάντεχη ισότητα

Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση