Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

KARKAR · #1

: Μεσοκάθετος - εφαπτομένη.png (15.54 KiB) Προβλήθηκε 969 φορές

Το σημείο

βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου (O , r)

. Εντοπίστε σημείο

του κύκλου , τέτοιο ώστε η μεσοκάθετος του

να εφάπτεται του κύκλου .

Εφαρμογή : Αν : r=3

και

, υπολογίστε το : $\cos\theta$

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 18, 2023 12:50 pm Μεσοκάθετος - εφαπτομένη.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου . Εντοπίστε σημείο

του κύκλου , τέτοιο ώστε η μεσοκάθετος του να εφάπτεται του κύκλου .

Εφαρμογή : Αν : και , υπολογίστε το : $\cos\theta$

Ας είναι

η , άλλη, τομή της ευθείας

με τον κύκλο και

το σημείο τομής της $EO\,\,$ με την

.

Τα $\vartriangle OED\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle OES$ έχουν :

κοινή , $\widehat {OED} = \widehat {OES}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {ODE} = \widehat {OSE}$ , συνεπώς είναι ίσα οπότε , ED = ES = ET = x

.

Ας είναι, OT = d

. Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο θα είναι : $TE \cdot TD = O{T^2} - {r^2} \Rightarrow 2{x^2} = {d^2} - {r^2}$ δηλαδή , $x = \sqrt {\dfrac{{{d^2} - {r^2}}}{2}}$ .

Ο κύκλος $\left( {T,x} \right)$ τέμνει τον $\left( {O,r} \right)$ στο

και ο $\left( {E,x} \right)$ τέμνει τον $\left( {O,r} \right)$ στο

.

: Μεσοκάθετος εφαπτομένη.png (18.5 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

Αν τώρα είναι : $r = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,d = 7 \Rightarrow x = 2\sqrt 5$ . Ας είναι $ST = 2k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EM = y$

Από τη δύναμη του

ως προς τον κύκλο $\left( {O,3} \right)$ έχω:

${y^2} = k\left( {k - 2ON} \right) = k\left( {k - 2\left( {k - 3} \right)} \right) = k\left( {6 - k} \right)$ και ${y^2} = {x^2} - {k^2}$ απ’ όπου:

$k = \dfrac{{10}}{3} \Rightarrow \boxed{\cos \theta = \dfrac{y}{x} = \dfrac{{\dfrac{{4\sqrt 5 }}{3}}}{{2\sqrt 5 }} = \dfrac{2}{3}}$

Henri van Aubel · #3

Διαφορετικά για τον υπολογισμό του συνημιτόνου.

Είναι $\angle OET=90^\circ+\theta$ και $ET=ES=6\cos \left ( 90^\circ-\theta \right )=6\sin \theta$ και συνεπώς:

$3^{2}+36\sin ^{2}\theta -2\cdot 3\cdot 6\sin \theta \cdot \cos \left ( 90^\circ+\theta \right )=7^{2}\Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow 36\sin ^{2}\theta +36\sin ^{2}\theta =40\Leftrightarrow \boxed{\sin ^{2}\theta =\frac{5}{9}}$ και άρα $\displaystyle \cos ^{2}\theta =\frac{4}{9}^{\theta < 90^\circ}\Leftrightarrow \boxed{\cos \theta =\frac{2}{3}}$

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 18, 2023 12:50 pm Μεσοκάθετος - εφαπτομένη.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου . Εντοπίστε σημείο

του κύκλου , τέτοιο ώστε η μεσοκάθετος του να εφάπτεται του κύκλου .

Εφαρμογή : Αν : και , υπολογίστε το : $\cos\theta$

Αλλιώς το 2ο ,ως συνέχεια της 1ης πιο πάνω ανάρτησής μου .

: Μεσοκάθετος εφαπτομένη_new_b.png (16.26 KiB) Προβλήθηκε 842 φορές

Από τον τύπο : $bc = 2r{h_a}$ και το $\vartriangle EDS$ έχω : ${x^2} = 2rEN \Rightarrow EN = k = \dfrac{{10}}{3}$ .

Από το Π. Θ. στο $\vartriangle MET$ , ${y^2} = {x^2} - {k^2} = 20 - \dfrac{{100}}{9} = \dfrac{{80}}{9} \Rightarrow {\cos ^2}\theta = \dfrac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{4}{9} \Rightarrow \boxed{\cos \theta = \dfrac{2}{3}}$ .

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 18, 2023 12:50 pm Μεσοκάθετος - εφαπτομένη.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου . Εντοπίστε σημείο

του κύκλου , τέτοιο ώστε η μεσοκάθετος του να εφάπτεται του κύκλου .

Εφαρμογή : Αν : και , υπολογίστε το : $\cos\theta$

Θέτω

και έστω

Προφανώς

απ' όπου όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, άρα και οι

κόκκινες είναι ίσες με $2\theta.$ Από τα όμοια τρίγωνα OES, EST,

παίρνω $\boxed{SE^2=rx}$ (1)

: Μεσοκάθετος-εφαπτομένη.png (17.88 KiB) Προβλήθηκε 819 φορές

Με νόμο συνημιτόνου στο OES

και με τη βοήθεια της (1)

βρίσκω $\boxed{\cos 2\theta = \frac{{2r - x}}{{2r}}}$ (2)

Με νόμο συνημιτόνου στο OTS

είναι, $\displaystyle {d^2} = {r^2} + {x^2} + 2rx\cos 2\theta \mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)}$ $\displaystyle {d^2} = {r^2} + {x^2} + 2rx\cos 2\theta \mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)}$

$x = \dfrac{{{d^2} - {r^2}}}{{2r}},$ οπότε εντοπίζεται το σημείο

Για τη εφαρμογή είναι $\boxed{ST=x=\frac{20}{3}}$

Εύκολα τώρα από τη (2)

έχω $\displaystyle \cos \theta = \sqrt {\frac{{4r - x}}{{4r}}}$ και για την εφαρμογή $\boxed{\cos \theta = \frac{2}{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 18, 2023 12:50 pm Μεσοκάθετος - εφαπτομένη.pngΤο σημείο βρίσκεται στο εξωτερικό του κύκλου . Εντοπίστε σημείο

του κύκλου , τέτοιο ώστε η μεσοκάθετος του να εφάπτεται του κύκλου .

Εφαρμογή : Αν : και , υπολογίστε το : $\cos\theta$

Ο κύκλος

τέμνει το ν κύκλο (O)

στα

.Οι

τέμνουν τον κύκλο (O)

στα ζητούμενα σημεία S,S’

Πράγματι,αν

αντιδιαμετρικό του

και η

τέμνει τον κύκλο

στο

, θα είναι TE=EA=ES

, άρα

μεσοκάθετος της

και

,συνεπώς η

εφάπτεται του (O)

Αν

ο ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο OTB

δίνει $cos2 \theta = \dfrac{5R^2-m^2}{4R^2}$ και με

$R=3,m=7\Rightarrow cos2 \theta=- \dfrac{1}{9}$ οπότε $cos \theta = \dfrac{2}{3}$

: cosθ.png (23.48 KiB) Προβλήθηκε 778 φορές

Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

Re: Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

Re: Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

Re: Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

Re: Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

Re: Μεσοκάθετος - εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση