Από σταθερό σημείο 14

KARKAR · #1

: Από σταθερό σημείο 14.png (21.66 KiB) Προβλήθηκε 685 φορές

Στην μεσοκάθετο τμήματος

, κινείται σημείο

. Ο κύκλος διαμέτρου

, τέμνει την

στο σημείο

,

ενώ η

, επανατέμνει τον κύκλο στο σημείο

. Δείξτε ότι η ευθεία

διέρχεται από σταθερό σημείο .

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 22, 2023 10:11 am Από σταθερό σημείο 14.pngΣτην μεσοκάθετο τμήματος , κινείται σημείο . Ο κύκλος διαμέτρου , τέμνει την στο σημείο ,
ενώ η , επανατέμνει τον κύκλο στο σημείο . Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .

Έχουμε:

$L \equiv AT \cap BC \Rightarrow \angle STA = \angle SMA = \angle SCM,$ που σημαίνει ότι τα σημεία T,L,C,S

είναι ομοκυκλικά άρα ισχύει

$\displaystyle{BL \cdot BC = BT \cdot BS = B{M^2} \Rightarrow BL = \frac{{B{M^2}}}{{BC}},\,\;ct.}$ Το ζητούμενο λοιπόν σταθερό σημείο είναι το

.

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 22, 2023 10:11 am Από σταθερό σημείο 14.pngΣτην μεσοκάθετο τμήματος , κινείται σημείο . Ο κύκλος διαμέτρου , τέμνει την στο σημείο ,

ενώ η , επανατέμνει τον κύκλο στο σημείο . Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .

Ας είναι

το σημείο τομής των $AT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ . Θέτω $MC = MB = m\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MF = x$ .

Επειδή διαδοχικά : $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}$ , τα σημεία T,F,C,S

είναι ομοκυκλικά.

: Απο σταθερό σημείο.png (20.85 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές

$B{M^2} = BT \cdot BS = BF \cdot BC \Rightarrow {m^2} = \left( {m - x} \right)2m \Rightarrow \boxed{x = \frac{m}{2}}$ , άρα το σημείο

είναι το σταθερό μέσο του

.

Δεν είδα του Σωτήρη τη λύση , την αφήνω για τον κόπο και για το σχήμα.

Henri van Aubel · #4

S.E.Louridas έγραψε: Σάβ Ιούλ 22, 2023 11:30 am
KARKAR έγραψε: Σάβ Ιούλ 22, 2023 10:11 am Από σταθερό σημείο 14.pngΣτην μεσοκάθετο τμήματος , κινείται σημείο . Ο κύκλος διαμέτρου , τέμνει την στο σημείο ,
ενώ η , επανατέμνει τον κύκλο στο σημείο . Δείξτε ότι η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο .
Έχουμε:

$L \equiv AT \cap BC \Rightarrow \angle STA = \angle SMA = \angle SCM,$ που σημαίνει ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά άρα ισχύει

$\displaystyle{BL \cdot BC = BT \cdot BS = B{M^2} \Rightarrow BL = \frac{{B{M^2}}}{{BC}},\,\;ct.}$ Το ζητούμενο λοιπόν σταθερό σημείο είναι το .

Από σταθερό σημείο 14

Από σταθερό σημείο 14

Re: Από σταθερό σημείο 14

Re: Από σταθερό σημείο 14

Re: Από σταθερό σημείο 14

Μέλη σε σύνδεση