Από ένα τραπέζιο δύο άλλα, όμοια μεταξύ τους.

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: Σάβ Αύγ 26, 2023 6:56 pm Από ένα τραπέζιο δύο άλλα, όμοια μεταξύ τους. .png

Δίνεται τραπέζιο ABCD με βάσεις AB, CD. Να δειχθεί ότι, αν ένα κοινό τμήμα παράλληλο των βάσεων είναι ίσο προς το μέσο ανάλογο αυτών, αυτό χωρίζει το τραπέζιο σε δύο άλλα όμοια μεταξύ τους και ότι οι διαγώνιες αυτών των δύο τραπεζίων είναι, μία προς μία, παράλληλες.

Στο σχήμα του Ορέστη (αφού δεν χρειάζεται κάποια βοηθητική ευθεία)

Αν $\dfrac{ED}{EA}=m$ τότε $EZ=\dfrac{m\cdot AB+DC}{1+m}:\left( 1 \right)$ (γνωστή πρόταση σε τραπέζιο)
Από την $\left( 1 \right)\Rightarrow DC=\left( 1+m \right)\cdot EZ-m\cdot AB:\left( 2 \right)$ και από το δεδομένο $E{{Z}^{2}}=AB\cdot DC\overset{\left( 2 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,E{{Z}^{2}}=\left( 1+m \right)\cdot EZ\cdot AB-m\cdot A{{B}^{2}}\Rightarrow$

$E{{Z}^{2}}=EZ\cdot AB+m\cdot EZ\cdot AB-m\cdot A{{B}^{2}}\Rightarrow$

$E{{Z}^{2}}-EZ\cdot AB-m\cdot EZ\cdot AB-m\cdot A{{B}^{2}}=0\Rightarrow$

$EZ\cdot \left( EZ-AB \right)-m\cdot AB\cdot \left( EZ-AB \right)=0\Rightarrow$ $\left( EZ-AB \right)\cdot \left( EZ-m\cdot AB \right)=0:\left( 3 \right)$
Προφανώς (από το τραπέζιο DCZE

) είναι $EZ\ne AB\overset{\left( 3 \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,EZ-m\cdot AB=0\Rightarrow \dfrac{EZ}{AB}=m=\dfrac{ED}{EA}:\left( 4 \right)$
Από την $\left( 4 \right)$ και με δεδομένο ότι από $DC\parallel EZ\parallel AB\Rightarrow \dfrac{ED}{EA}=\dfrac{CZ}{ZB}=\dfrac{EZ}{AB}\overset{\upsilon \pi o\theta \varepsilon \sigma \eta }{\mathop{=}}\,\dfrac{DC}{EZ}$ και με τις γωνίες τους ίσες (λόγω παραλληλιών) προκύπτει ότι τα τραπέζια EACZ,AEZB

είναι όμοια .

Από την ομοιότητα των τραπεζίων προκύπτει ότι και τα τρίγωνα $\vartriangle DEZ,\vartriangle EAZ$ είναι όμοια (μια γωνία του ενός ίση με μία γωνία του άλλου ( $DC\parallel EZ$ ) και οι πλευρές που τις περιέχουν ανάλογες) και επειδή δύο πλευρές τους είναι «παράλληλες» (υπό την ευρεία έννοια) θα είναι και οι τρίτες πλευρές παράλληλες , δηλαδή $EC\parallel AZ$ και με ακριβώς όμοιο τρόπο (την άλλη ομοιότητα των τριγώνων) προκύπτει ότι $DZ\parallel EB$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

Προφανώς τα δύο τραπέζια είναι ομοιόθετα στην ομοιοθεσία με κέντρο την τομή των AD, BC

και λόγο

. Αυτό αιτιολογεί την ομοιότητά τους και τις ζητούμενες παραλλήλιες.

Από ένα τραπέζιο δύο άλλα, όμοια μεταξύ τους.

Από ένα τραπέζιο δύο άλλα, όμοια μεταξύ τους.

Re: Από ένα τραπέζιο δύο άλλα, όμοια μεταξύ τους.

Re: Από ένα τραπέζιο δύο άλλα, όμοια μεταξύ τους.

Re: Από ένα τραπέζιο δύο άλλα, όμοια μεταξύ τους.

Μέλη σε σύνδεση