Κόκκινος κύκλος

KARKAR · #1

: Κόκκινος κύκλος.png (32.28 KiB) Προβλήθηκε 560 φορές

Σε τρίγωνο ABC

κατασκευάστε τον κόκκινο κύκλο , ο οποίος να εφάπτεται εσωτερικά στον μπλε περίκυκλο

και στην πλευρά

του τριγώνου . Αν : AB=7 , BC=8 , CA=9

και ο κόκκινος κύκλος τέμνει

τις πλευρές AB , AC

στα σημεία S ,T

αντίστοιχα , υπολογίστε την περίμετρο του τετραπλεύρου SBCT

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 22, 2024 1:31 pm Κόκκινος κύκλος.pngΣε τρίγωνο κατασκευάστε τον κόκκινο κύκλο , ο οποίος να εφάπτεται εσωτερικά στον μπλε περίκυκλο

και στην πλευρά του τριγώνου . Αν : και ο κόκκινος κύκλος τέμνει

τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα , υπολογίστε την περίμετρο του τετραπλεύρου .

Υπάρχουν άπειροι τέτοιοι κύκλοι. Φαντάζομαι ότι ο Θανάσης εννοεί οι κύκλοι να εφάπτονται στο

: Κόκκινος κύκλος.Κ1.png (22.01 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

H εφαπτομένη του μπλε κύκλου στο

τέμνει την

στο

και η κάθετη από το

στην

τέμνει τη διχοτόμο της $C\widehat SA$ στο

Ο κύκλος

είναι ο ζητούμενος.

Το άλλο ερώτημα αργότερα (η περίμετρος είναι

).

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 22, 2024 1:31 pm Κόκκινος κύκλος.pngΣε τρίγωνο κατασκευάστε τον κόκκινο κύκλο , ο οποίος να εφάπτεται εσωτερικά στον μπλε περίκυκλο

και στην πλευρά του τριγώνου . Αν : και ο κόκκινος κύκλος τέμνει

τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα , υπολογίστε την περίμετρο του τετραπλεύρου .

α)
Ο Περιγεγραμμένος κύκλος του $\vartriangle ABC$ έχει κέντρο σταθερό σημείο

, έχει δε σταθερή, σε θέση και μέγεθος, διχοτόμο

.

Ας δούμε δύο ακόμα κατασκευές

1. Το κέντρο

του κύκλου που θέλω είναι το σημείο τομής της

με την μεσοκάθετο του

.

2. Θεωρώ την παραβολή με εστία το

και διευθετούσα την

.

Η τομή αυτής της παραβολής με την

μου ορίζει το κέντρο

του κύκλου που θέλω ( όχι Ευκλείδεια κατασκευή)

Μπορεί επίσης να προκύψει σαν ειδική περίπτωση του 1ου και 2ου προβλήματος του Απολλώνιου .

Διέρχεται από δύο σημεία ( A,D

) και εφάπτεται της ευθεία

ή

Διέρχεται από δύο σημεία ( A,D

) και εφάπτεται του κύκλου $\Omega$

#4

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 22, 2024 1:31 pm Κόκκινος κύκλος.pngΣε τρίγωνο κατασκευάστε τον κόκκινο κύκλο , ο οποίος να εφάπτεται εσωτερικά στον μπλε περίκυκλο

και στην πλευρά του τριγώνου . Αν : και ο κόκκινος κύκλος τέμνει

τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα , υπολογίστε την περίμετρο του τετραπλεύρου .

Για το δεύτερο ερώτημα φέρνω την εφαπτομένη των κύκλων στο

οπότε οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, άρα ST||BC.

: Κόκκινος κύκλος.Κ2.png (18.41 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές

Ισχύουν: $\displaystyle \left\{ \begin{gathered} 9BS = 7CT \hfill \\ {x^2} = 7BS \hfill \\ {y^2} = 9CT \hfill \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{x + y = 8} BS = \frac{7}{4},CT = \frac{9}{4},$ και εύκολα παίρνω ST=6.

Επομένως, $\boxed{BS+ST+TC+BC=\frac{7}{4}+6+\frac{9}{4}+8=18}$

#5

KARKAR έγραψε: Δευ Ιαν 22, 2024 1:31 pm Κόκκινος κύκλος.pngΣε τρίγωνο κατασκευάστε τον κόκκινο κύκλο , ο οποίος να εφάπτεται εσωτερικά στον μπλε περίκυκλο

και στην πλευρά του τριγώνου . Αν : και ο κόκκινος κύκλος τέμνει

τις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα , υπολογίστε την περίμετρο του τετραπλεύρου .

b)
Τα $F\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L$ είναι οι νότιοι πόλοι του κύκλου $\Omega$ και του κόκκινου κύκλου . Επειδή $KD//OL\,,\,\,KD \bot ST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OL \bot BC$ θα είναι , ST//BC

.

Θέτω $SB = x\,\,,\,\,TC = y\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ST = z$ . Από Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle ABC$ έχω , $\boxed{BD = \frac{7}{2}}$ έτσι και από τη δύναμη του

στο κόκκινο κύκλο, έχω :
$\boxed{x = \frac{7}{4}}$ ενώ λόγω της παραλληλίας των $ST\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$

: Κόκκινος κύκλος_Υπολογισμός.png (29.93 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές

$\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{y} = \frac{7}{9} \hfill \\ \frac{z}{8} = \frac{{7 - x}}{7} \hfill \\ x = \frac{7}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ απ’ όπου : $\,\,\,\,\,\left\{ \begin{gathered} x = \frac{7}{4} \hfill \\ y = \frac{9}{4} \hfill \\ z = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ Οπότε η περίμετρος που θέλω είναι , $\boxed{s = 8 + \frac{7}{4} + 6 + \frac{9}{4} = 18}$

Κόκκινος κύκλος

Κόκκινος κύκλος

Re: Κόκκινος κύκλος

Re: Κόκκινος κύκλος

Re: Κόκκινος κύκλος

Re: Κόκκινος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση