Ισότητα και ανισότητα τμημάτων από τριχοτόμηση

sakis1963 · #1

: 2024.04.27 generalization mathematica.jpg (50.65 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές

Δείξτε ότι για τα τμήματα w, x, y, z

του σχήματος, ισχύουν:

i. $(1+\frac{y}{w}) \cdot (1+\frac{x}{z})=4cos^{2}\phi$

ii. $\frac{x}{w}+\frac{y}{z}\leq 2(2cos\phi-1)$

#2

Παίρνω εμβαδά των πρώτων τριγώνων και έχω:

$\dfrac{1}{2}wxsinf+\dfrac{1}{2}xysinf=\dfrac{1}{2}wysin2f$ ή

wx+xy=2wycosf

, και, ομοίως από τα τελευταία τρίγωνα: xy+yz=2xzcosf

Από εδώ έχω $\dfrac{w+y}{w}=\dfrac{2ycosf}{x}$ και $\dfrac{z+x}{z}=\dfrac{2xcosf}{y}$

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη προκύπτει η πρώτη σχέση.

Από τις ίδιες σχέσεις παίρνω:

$\dfrac{x}{w}=2cosf-\dfrac{x}{y}$ και $\dfrac{y}{z}=2cosf-\dfrac{y}{x}$

Με πρόσθεση κατά μέλη και με δεδομένη την σχέση $\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\geqslant 2$ , προκύπτει η ζητούμενη ανισοισότητα.

Ισότητα και ανισότητα τμημάτων από τριχοτόμηση

Ισότητα και ανισότητα τμημάτων από τριχοτόμηση

Re: Ισότητα και ανισότητα τμημάτων από τριχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση