Ισότητα σε άνισα τρίγωνα

KARKAR · #1

: Ισότητα σε άνισα τρίγωνα.png (19.77 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές

Πάνω σε ημικύκλιο διαμέτρου

θεωρούμε σημεία P , T

. Οι

, τέμνονται στο

. Σχεδιάζουμε

την διχοτόμο

της $\hat{A}$ και τους κύκλους ( B,P ,D) , (C , T , D)

, οι οποίοι τέμνονται και στο σημείο

.

α) Δείξτε ότι το

ανήκει στην

και ότι : SP=ST

.

β) Πώς να επιλέξουμε τα P , Q

, ώστε να είναι επιπλέον : SP=SD

;

S.E.Louridas · #2

KARKAR έγραψε: Κυρ Αύγ 18, 2024 9:48 amΠάνω σε ημικύκλιο διαμέτρου θεωρούμε σημεία . Οι , τέμνονται στο . Σχεδιάζουμε την διχοτόμο της $\hat{A}$ και τους κύκλους , οι οποίοι τέμνονται και στο σημείο .α) Δείξτε ότι το ανήκει στην και ότι : .β) Πώς να επιλέξουμε τα , ώστε να είναι επιπλέον : ;

Για το πρώτο:

Έστω S_1

το σημείο τομής του κύκλου (A,T,P)

με την

Τότε έχουμε: $\angle AS_1P =\angle ATP =\angle B$ ,

οπότε το S_1

ταυτίζεται με το

$\displaystyle{\vartriangle APS \sim \vartriangle ABD \Rightarrow \frac{{SP}}{{BD}} = \frac{{AS}}{{AB}},\;\,\vartriangle ATS \sim \vartriangle ACD \Rightarrow \frac{{DC}}{{ST}} = \frac{{AC}}{{AS}} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{{SP}}{{BD}} \cdot \frac{{DC}}{{ST}} = \frac{{AC}}{{AB}} \Rightarrow \frac{{SP}}{{ST}} = 1 \Rightarrow SP = ST.}$

Για το δεύτερο:

Kαταρχάς το

θα είναι η τομή της διχοτόμου της γωνίας $\angle B$ με την AD.

Επομένως το

θα πρέπει να είναι το έκκεντρο

του τριγώνου ABC,

Τελικά αν κατασκευάσουμε τα P, T,

ώστε

τότε έχουμε επιτύχει το ζητούμενο.

(*) Επανήλθα για το 2ο ερώτημα καθότι καταρχάς το ερμήνευσα λάθος κάτι που μου επεσήμανε ο κατασκευαστής του θέματος Θανάσης (ΚΑRKAR),
τον οποίο και ευχαριστώ. Αναρτώ λοιπόν την σκέψη μου μετά τη σωστή κατανόηση του ερωτήματος.

Ισότητα σε άνισα τρίγωνα

Ισότητα σε άνισα τρίγωνα

Re: Ισότητα σε άνισα τρίγωνα

Μέλη σε σύνδεση