Σταθερή απόσταση

KARKAR · #1

: Σταθερό τμήμα.png (22.83 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

Το σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου AOB

είναι ομόκεντρο με το μεταβλητό αλλά μεγαλύτερο , διαμέτρου QOS

.

Από το σημείο

φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και την διχοτόμο της γωνίας $\widehat {QSP}$ , η οποία τέμνει

το μεγάλο ημικύκλιο στο

. Δείξτε ότι η απόσταση του

από την κοινή διάμετρο

, είναι σταθερή .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 25, 2025 10:05 am Σταθερό τμήμα.pngΤο σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου είναι ομόκεντρο με το μεταβλητό αλλά μεγαλύτερο , διαμέτρου .

Από το σημείο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την διχοτόμο της γωνίας $\widehat {QSP}$ , η οποία τέμνει

το μεγάλο ημικύκλιο στο . Δείξτε ότι η απόσταση του από την κοινή διάμετρο , είναι σταθερή .

: Σταθερή απόσταση.png (22.81 KiB) Προβλήθηκε 499 φορές

Τα ορθογώνια τρίγωνα T'TO, POS

είναι φανερά ίσα, οπότε $\boxed{TT'=OP=r}$

#3

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 25, 2025 10:05 am Σταθερό τμήμα.pngΤο σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου είναι ομόκεντρο με το μεταβλητό αλλά μεγαλύτερο , διαμέτρου .

Από το σημείο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την διχοτόμο της γωνίας $\widehat {QSP}$ , η οποία τέμνει

το μεγάλο ημικύκλιο στο . Δείξτε ότι η απόσταση του από την κοινή διάμετρο , είναι σταθερή .

.
"Διπλασιάζουμε" το σχήμα ώστε να βλέπουμε και το άλλο μισό των ημικυκλίων. Είναι τότε $TT'= \frac {1}{2} TT'' = \frac {1}{2} QR$ (ίσες εγγεγραμμένες, $2\theta$ εκάστη). Αλλά από τα όμοια με λόγο

ορθογώνια τρίγωνα QRS, OPS

έχουμε

(το διπλάσιο της ακτίνας). Τελικά TT'

ίσον με την ακτίνα του μικρού κύκλου.
.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 25, 2025 10:05 am Σταθερό τμήμα.pngΤο σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου είναι ομόκεντρο με το μεταβλητό αλλά μεγαλύτερο , διαμέτρου .

Από το σημείο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την διχοτόμο της γωνίας $\widehat {QSP}$ , η οποία τέμνει

το μεγάλο ημικύκλιο στο . Δείξτε ότι η απόσταση του από την κοινή διάμετρο , είναι σταθερή .

Λόγω της προφανούς ισότητας των κόκκινων γωνιών, είναι KS//OT

άρα

ορθογώνιο

Έτσι TT’=KT=OP=r

: σταθερή απόσταση.png (47.26 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές

#5

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 25, 2025 10:05 am Σταθερό τμήμα.pngΤο σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου είναι ομόκεντρο με το μεταβλητό αλλά μεγαλύτερο , διαμέτρου .

Από το σημείο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την διχοτόμο της γωνίας $\widehat {QSP}$ , η οποία τέμνει

το μεγάλο ημικύκλιο στο . Δείξτε ότι η απόσταση του από την κοινή διάμετρο , είναι σταθερή .

Ας είναι

το μέσο του μικρού ημικυκλίου Τα τρίγωνα : $SOM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,TOM$ έχουν ,

$OS = OT = r + d\,\,,\,\,OP = OM = r\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat {SOM} = \widehat {TOM} = 90^\circ - 2\theta \,$ .

Είναι λοιπόν , $\vartriangle POS = \vartriangle MOT$ , κατά συνέπεια και το $\vartriangle MTO$ είναι ορθογώνιο στο

.

: Σταθερή απόσταση.png (26 KiB) Προβλήθηκε 416 φορές

Δηλαδή η

είναι η μοναδική παράλληλος της

, που διέρχεται από το σταθερό

.

Άρα όπου και να βρεθεί το

θα απέχει από την ευθεία

απόσταση : $\boxed{TT' = r}$

S.E.Louridas · #6

KARKAR έγραψε: Σάβ Ιαν 25, 2025 10:05 am Το σταθερό ημικύκλιο διαμέτρου είναι ομόκεντρο με το μεταβλητό αλλά μεγαλύτερο , διαμέτρου . Από το σημείο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και την διχοτόμο της γωνίας $\widehat {QSP}$ , η οποία τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο . Δείξτε ότι η απόσταση του από την κοινή διάμετρο , είναι σταθερή .