Δύσκολο ορθογώνιο

KARKAR · #1

: Δύσκολο ορθογώνιο.png (14.64 KiB) Προβλήθηκε 1060 φορές

Στην διάμετρο

ενός κύκλου , βρίσκονται σημεία C,D

, τέτοια ώστε : AC=DB=2 , CD=6

.

Κατασκευάστε ή ( και ) υπολογίστε χορδή

, η οποία διέρχεται από το σημείο

και είναι υποτείνουσα

στο ορθογώνιο τρίγωνο TCS

.

Ιστοσελίδα · #2

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 29, 2025 5:27 am Στην διάμετρο ενός κύκλου , βρίσκονται σημεία , τέτοια ώστε : .

Κατασκευάστε ή ( και ) υπολογίστε χορδή , η οποία διέρχεται από το σημείο και είναι υποτείνουσα

στο ορθογώνιο τρίγωνο .

: shape.png (34.38 KiB) Προβλήθηκε 1048 φορές

Φέρνουμε $TE,SZ \bot AB$ και θέτουμε $TE = x,\,CE = y$ .

Εκμεταλλευόμενοι και την ομοιότητα των $\triangle TEC, \triangle CZS$ δημιουργούμε το 3x3

σύστημα, στο παραπάνω σχήμα, με λύση $CE = y = \dfrac{{13}}{3} - \sqrt {\dfrac{{35}}{3}}$ .

Έτσι, με κύκλο (C,CE)

και κάθετη από το

στην

προσδιορίζεται το σημείο

.

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 29, 2025 5:27 am Δύσκολο ορθογώνιο.pngΣτην διάμετρο ενός κύκλου , βρίσκονται σημεία , τέτοια ώστε : .

Κατασκευάστε ή ( και ) υπολογίστε χορδή , η οποία διέρχεται από το σημείο και είναι υποτείνουσα

στο ορθογώνιο τρίγωνο .

Από το σταθερό

φέρνουμε εφαπτομένη στο κύκλο $\left( {O,2} \right)$ .

: Δυσκολο ορθογώνιο.png (29.02 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 29, 2025 5:27 am Δύσκολο ορθογώνιο.pngΣτην διάμετρο ενός κύκλου , βρίσκονται σημεία , τέτοια ώστε : .

Κατασκευάστε ή ( και ) υπολογίστε χορδή , η οποία διέρχεται από το σημείο και είναι υποτείνουσα

στο ορθογώνιο τρίγωνο .

: Δυσκολο ορθογώνιο_ανάλυση_α.png (29.64 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

Πρώτα – πρώτα για όποιες χορδές $\overline {TCP} \,\,,\,\,\overline {TDS}$ ο κύκλος $U \to \left( {T,C,S} \right)$ τέμνει την ημιευθεία

ακόμη στο

και ισχύει:

$DH \cdot DC = DT \cdot DS = DB \cdot DA \Rightarrow \left( {2 + BH} \right) \cdot 6 = 2 \cdot 8 \Rightarrow \boxed{DH = \frac{2}{3}}$ (Θ. Haruki

). Δηλαδή το

είναι σταθερό σημείο .

Έστω τώρα λυμένο το πρόβλημα .
.

: Δυσκολο ορθογώνιο_Ανάλυση b.png (51.09 KiB) Προβλήθηκε 1013 φορές

.
H

είναι υποτείνουσα του ορθογωνίου $\vartriangle TCS$ . Είναι δε ακόμα η διάμετρος του κύκλου ,

του οποίου το κέντρο είναι το μέσο

της

.

Φέρνω την κάθετη στο

επί την

και τέμνει, βόρεια, τον

στο

.

Επειδή όπως προανέφερα , $TD \cdot DS = DA \cdot DB = 2 \cdot 8 = 16 \Rightarrow DJ = 4$ . κι’ αφού $\boxed{OM// = \frac{{DJ}}{2} \Rightarrow OM = 2}$

Παρατηρήσεις :

Εύκολα υπολογίζεται η $TS = 2\sqrt {21}$

Δεν σχεδιάστηκαν διάφορα ευθύγραμμα τμήματα, για να μην «βαρύνει» το σχήμα . $JT \bot JS\,\,,\,\,JH \bot AB\,\,\,,\,\,HT \bot HS$

KARKAR · #5

: Δύσκολο ορθογώνιο.png (29.33 KiB) Προβλήθηκε 1002 φορές

Μια απλούστερη λύση θα μπορούσε να προκύψει με την χρήση του παρακάτω λήμματος ,

το οποίο προτείνεται ως χωριστή άσκηση : " Για κάθε χορδή

διερχόμενη από το

,

ισχύει : TC^2+CS^2+ST^2=2(3r^2+d^2)

" .

#6

KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 29, 2025 10:24 pm Δύσκολο ορθογώνιο.pngΜια απλούστερη λύση θα μπορούσε να προκύψει με την χρήση του παρακάτω λήμματος ,

το οποίο προτείνεται ως χωριστή άσκηση : " Για κάθε χορδή διερχόμενη από το ,

ισχύει : " .

Mε δύο θεωρήματα διαμέσων στα τρίγωνα TCD, SCD

είναι:

: Δύσκολο ορθογώνιο.Κ.png (11.84 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

$\displaystyle T{C^2} + T{D^2} + C{S^2} + S{D^2} = 4{r^2} + 4{d^2} \Leftrightarrow T{C^2} + C{S^2} + S{T^2} = 4{r^2} + 4{d^2} + 2TD \cdot SD$

$\displaystyle T{C^2} + C{S^2} + S{T^2} = 4{r^2} + 4{d^2} + 2({r^2} - {d^2}) = 2(3{r^2} + {d^2})$

#7

george visvikis έγραψε: Παρ Μάιος 30, 2025 10:09 am
KARKAR έγραψε: Πέμ Μάιος 29, 2025 10:24 pm Δύσκολο ορθογώνιο.pngΜια απλούστερη λύση θα μπορούσε να προκύψει με την χρήση του παρακάτω λήμματος ,

το οποίο προτείνεται ως χωριστή άσκηση : " Για κάθε χορδή διερχόμενη από το ,

ισχύει : " .
Mε δύο θεωρήματα διαμέσων στα τρίγωνα είναι: Δύσκολο ορθογώνιο.Κ.png
$\displaystyle T{C^2} + T{D^2} + C{S^2} + S{D^2} = 4{r^2} + 4{d^2} \Leftrightarrow T{C^2} + C{S^2} + S{T^2} = 4{r^2} + 4{d^2} + 2TD \cdot SD$

$\displaystyle T{C^2} + C{S^2} + S{T^2} = 4{r^2} + 4{d^2} + 2({r^2} - {d^2}) = 2(3{r^2} + {d^2})$

KARKAR · #8

: Δύσκολο ορθογώνιο.png (16.7 KiB) Προβλήθηκε 966 φορές

Έχουμε λοιπόν :

$\displaystyle T{C^2} + C{S^2} + S{T^2} = 2(3{r^2} + {d^2})=168$ , συνεπώς για το ορθογώνιο : $\displaystyle S{T^2}=84$ .

δηλαδή : $ST=2\sqrt{21}$ . Η χορδή αυτή έχει απόστημα OH=2

, απ' όπου και η προτεινόμενη

από τον Νίκο κατασκευή . ( Μου πήρε κάποιο χρόνο για να πετύχω τέτοια νούμερα

)

Δύσκολο ορθογώνιο

Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Re: Δύσκολο ορθογώνιο

Μέλη σε σύνδεση