Πλευρώτους

KARKAR · #1

: Πλευρώτους.png (26.24 KiB) Προβλήθηκε 1460 φορές

Οι κύκλοι (O,3)

και

εφάπτονται εξωτερικά στο

και έχουν ένα κοινό εξωτερικά

εφαπτόμενο , το τμήμα

. Ευθεία παράλληλη προς το

και διερχόμενη από το

,

τέμνει τους κύκλους στα σημεία P , T

. Οι ημιευθείες

και

, τέμνονται στο

.

Υπολογίστε τις πλευρές του τριγώνου SPT

. ( Το "ένα" είναι αόριστο άρθρο , όχι αριθμητικό )

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Ιουν 05, 2025 6:46 pm
Πλευρώτους.pngΟι κύκλοι και εφάπτονται εξωτερικά στο και έχουν ένα κοινό εξωτερικά

εφαπτόμενο , το τμήμα . Ευθεία παράλληλη προς το και διερχόμενη από το ,

τέμνει τους κύκλους στα σημεία . Οι ημιευθείες και , τέμνονται στο .

Υπολογίστε τις πλευρές του τριγώνου . ( Το "ένα" είναι αόριστο άρθρο , όχι αριθμητικό )

Είναι προφανές ότι γωνίες του ίδιου χρώματος είναι ίσες μεταξύ τους .

Το $BC = 2\sqrt {Rr} = 2\sqrt 6 \,\,\left( 1 \right)$ . Αν

το μέσο του

θα είναι

και άρα το $\vartriangle ABC$ είναι ορθογώνιο στο

.

: Πλευρώτους _a.png (19.73 KiB) Προβλήθηκε 1426 φορές

Άμεση συνέπεια , $S = 90^\circ$ . Το τετράπλευρο ABSC

είναι εγγράψιμο . Λόγω της παραλληλίας των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PT$ το προαναφερθέν

Τετράπλευρο , ABSC

είναι και χαρταετός και θα έχει κάθετες διαγώνιους. Προφανώς δε : $\vartriangle ABC = \vartriangle SBC$ και καθένα απ αυτά

Είναι όμοιο με το $\vartriangle SPT$ . Πάμε τώρα στους υπολογισμούς .

Θεωρώ το $\vartriangle MOK$ και την

. Το $\vartriangle MOK$ έχει OK = 3 + 2 = 5

το ύψος του $MA = \dfrac{{BC}}{2} = \sqrt 6 \,\,\left( 2 \right)$ είναι δε ορθογώνιο στο

.

Επειδή

μεσοκάθετος στο

και

μεσοκάθετος στο

το τετράπλευρο OAMB

είναι χαρταετός και το $\vartriangle MOK$ είναι

Όμοιο με καθένα από τα $\vartriangle ABC\,\,\,,\,\,\vartriangle SBC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle SPT$ είναι δε ακόμα AB = BP = BS

.

: Πλευρώτους _b.png (22 KiB) Προβλήθηκε 1426 φορές

Ο λόγος ομοιότητας των $\vartriangle SPT\,\,,\,\,\vartriangle MOK$ είναι : $\boxed{k = \dfrac{{ST}}{{OK}} = \dfrac{{4\sqrt 6 }}{5}}\,\,\,\left( 3 \right)$ Επειδή $O{M^2} = A{O^2} + A{M^2} = 9 + 6 = 15 \Rightarrow OM = \sqrt {15}$ .

Συνεπώς $\boxed{SP = \sqrt {15} \cdot \dfrac{{4\sqrt 6 }}{5} = \dfrac{{12\sqrt {10} }}{5}}$ , με όμοιο τρόπο ή αλλιώς , $\boxed{PT = 4\sqrt 6 \,\,,\,\,ST = \sqrt {10} \dfrac{{4\sqrt 6 }}{5} = \dfrac{{8\sqrt {10} }}{5}}$

Πλευρώτους

Πλευρώτους

Re: Πλευρώτους

Μέλη σε σύνδεση