Περασμένη ώρα εφαπτομένης

KARKAR · #1

: Περασμένη ώρα εφαπτομένης.png (27.99 KiB) Προβλήθηκε 360 φορές

Το ισόπλευρο τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

. Το

είναι σημείο του

ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{BC}$ . Αν η κάθετη από το

προς την

διέρχεται από το μέσο

της

, υπολογίστε την $\tan\theta$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 01, 2025 5:27 am
Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Το είναι σημείο του

ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{BC}$ . Αν η κάθετη από το προς την διέρχεται από το μέσο

της , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Αν

η πλευρά το ισοπλεύρου, έχουμε

$SC=2SM= \dfrac {2FM}{\cos 30}= \dfrac {4FM}{\sqrt 3}=\dfrac {4BF}{\sqrt 3}=\dfrac {4}{\sqrt 3}a\sin (60-\theta)$ (από το ορθογώνιο ABF

)

Επίσης από τον Νόμο των ημιτόνων στο ASC

έχουμε

$\displaystyle{SC= \dfrac {a\sin \theta}{\sin 60}= \dfrac {2a\sin \theta}{\sqrt 3}}$

Εξισώνοντας τις δύο παραστάσεις για το

προκύπτει

$2\sin (60-\theta) = \sin \theta$ , άρα $\dfrac {2\sin 60 \cos \theta-2\cos 60 \sin \theta}{\sin \theta }=1$ ή αλλιώς

$\dfrac {\sqrt 3}{\tan \theta} - 1 =1$ , οπότε $\boxed {\tan \theta = \dfrac {\sqrt 3}{2}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 01, 2025 5:27 am
Περασμένη ώρα εφαπτομένης.pngΤο ισόπλευρο τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Το είναι σημείο του

ελάσσονος τόξου $\overset{\frown}{BC}$ . Αν η κάθετη από το προς την διέρχεται από το μέσο

της , υπολογίστε την $\tan\theta$ .

Ισχύει

και είναι γνωστό ότι AS=BS+SC=3m

Με ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ABS

παίρνουμε $a^2=7m^2=(R \sqrt{3} )^2=3R^2 \Rightarrow R^2= \dfrac{7m^2}{3}$

Με Π.Θ στο τρίγωνο OMC

παίρνουμε $OM= \dfrac{2m}{ \sqrt{3} }$ κι εύκολα $tan \theta = \dfrac{MC}{OM} = \dfrac{ \sqrt{3} }{2}$

: Περασμένη ώρα εφαπτομένης.png (30.01 KiB) Προβλήθηκε 302 φορές

Περασμένη ώρα εφαπτομένης

Περασμένη ώρα εφαπτομένης

Re: Περασμένη ώρα εφαπτομένης

Re: Περασμένη ώρα εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση