Ισεμβαδικά ορθογώνια

KARKAR · #1

: Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (15.32 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Για το μεταβλητό ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, γνωρίζουμε ότι : AB+AC=10

. Δείξτε ότι η μεσοκάθετος

της υποτείνουσας

διέρχεται από σταθερό σημείο

και υπολογίστε το

, ώστε :

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Ιούλ 28, 2025 11:06 am Ισεμβαδικά ορθογώνια.pngΓια το μεταβλητό ορθογώνιο τρίγωνο , γνωρίζουμε ότι : . Δείξτε ότι η μεσοκάθετος

της υποτείνουσας διέρχεται από σταθερό σημείο και υπολογίστε το , ώστε : .

Επί των ευθειών AC, AB

θεωρώ τα σημεία K, L

ώστε

Το τετράγωνο με πλευρές AK, AL

έχει τέταρτη κορυφή το ζητούμενο σταθερό σημείο

Θέτω

οπότε

: Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (13.15 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές

$\displaystyle (ABC) = (SBM) \Leftrightarrow \frac{{x(10 - x)}}{2} = \frac{{B{M^2}}}{2} = \frac{{B{C^2}}}{8} = \frac{{{x^2} + {{(10 - x)}^2}}}{8} \Leftrightarrow$

$\displaystyle 3{x^2} - 30x + 50 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed {x = \frac{5}{3}\left( {3 \pm \sqrt 3 } \right)}$ Τα ίσα εμβαδά είναι $\boxed{E=\frac{25}{3}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Δευ Ιούλ 28, 2025 11:06 am Ισεμβαδικά ορθογώνια.pngΓια το μεταβλητό ορθογώνιο τρίγωνο , γνωρίζουμε ότι : . Δείξτε ότι η μεσοκάθετος

της υποτείνουσας διέρχεται από σταθερό σημείο και υπολογίστε το , ώστε : .

A)Έστω ότι η μεσοκάθετητης

τέμνει τον περίκυκλο του ABC

στο

Τότε η

είναι διχοτόμος της γωνίας

και $\angle BSC=90^0$

Με

σημείο της

ώστε

θα είναι

Τα τρίγωνα BNS,ACS

έχουν

,

και $\angle NBS= \angle SCA$ άρα είναι ίσα ,οπότε

$\angle N=45^0 \Rightarrow \triangle NSA$ ορθογώνιο ισοσκελές με SN=SA=y

Έτσι η μεσοκάθετη της

περνά από το

που είναι σταθερό σημείο αφού ES=5

B)Από Π.Θ στο $\triangle NSA \Rightarrow y^2=50$ και $\dfrac{(BSC)}{(ABC)}=2= \dfrac{SD}{DA} \Rightarrow SD= \dfrac{2y}{3} , AD= \dfrac{y}{3}$

$AD^2=AB.AC-BD.DC =AB.AC-AD.DS\Rightarrow \dfrac{y^2}{9}=x(10-x)- \dfrac{2}{9}y^2$

που καταλήγει στην εξίσωση 3x^2-30x+50=0

με $x= \dfrac{5(3 \pm \sqrt{3} )}{3}$

: Ισεμβαδικά ορθογώνια.png (41.17 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Δευ Ιούλ 28, 2025 11:06 am Ισεμβαδικά ορθογώνια.pngΓια το μεταβλητό ορθογώνιο τρίγωνο , γνωρίζουμε ότι : . Δείξτε ότι η μεσοκάθετος

της υποτείνουσας διέρχεται από σταθερό σημείο και υπολογίστε το , ώστε : .

Εστω

Από το εγράψιμο τετράπλευρο

$ATMB,CM.CB=TC.AC,a^{2}=2(x^{2}-20x+50),(1),BMS,2y^{2}=x^{2}+20x-50,(2), (1),(2) \Rightarrow y=\dfrac{a}{2},\hat{BSM}=\hat{MSC}=45^{0}$ και το σημείο

είναι

σταθερό $(ABC)=(SBM)\Rightarrow 4bc=a^{2},b+c=10\Rightarrow c=5.\dfrac{3+\sqrt{3}}{3},5.\dfrac{3-\sqrt{3}}{5}$

Ισεμβαδικά ορθογώνια

Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Re: Ισεμβαδικά ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση