Κυνηγώντας το σημείο

[KARKAR]

Κυνηγώντας το σημείο.png (12.89 KiB) Προβλήθηκε 595 φορές

Στην βάση τριγώνου βρίσκεται σημείο , διαφορετικό από το μέσο της .

Εντοπίστε σημείο της πλευράς , για το οποίο να είναι : .

[Mihalis_Lambrou]

Κυνηγώντας το σημείο.pngΣτην βάση τριγώνου βρίσκεται σημείο , διαφορετικό από το μέσο της .

Εντοπίστε σημείο της πλευράς , για το οποίο να είναι : .

to simeio.png (18.2 KiB) Προβλήθηκε 584 φορές

Φέρνουμε την κάθετο . Βρίσκουμε την τέταρτη ανάλογο από την . Φέρνουμε την παράλληλο Της σε απόσταση . Αυτή τέμνει την στο ζητούμενο σημείο διότι



Ας προσθέσω ότι η άσκηση είναι απόλυτη κοινοτυπία και βρίσκεται στην μία ή την άλλη ισοδύναμη μορφή σε όλες τις Γεωμετρίες, αρχής γενομένης από τα Στοιχεία του Ευκλείδη, ήδη στο πρώτο βιβλίο: Βλέπε Στοιχεία Α' 44 και γενίκευση στο A' 45. Mάλιστα ο Ευκλείδης το λύνει χωρίς καν να έχει συζητήσει όμοια τρίγωνα (και το ξανακάνει, αφού τα συζητήσει).

[KARKAR]

Ας προσθέσω ότι η άσκηση είναι απόλυτη κοινοτυπία ...

Μιχάλη , πράγματι η άσκηση είναι από τις "βασικές" , αλλά το "απόλυτη κοινοτυπία" είναι νομίζω κάπως υπερβολικό .

Κυνηγώντας το σημείο.png (13.56 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές

Μια άλλη λύση είναι από το σημείο της , για το οποίο είναι , να φέρουμε .

[Doloros]

Ας προσθέσω ότι η άσκηση είναι απόλυτη κοινοτυπία ...

Μιχάλη , πράγματι η άσκηση είναι από τις "βασικές" , αλλά το "απόλυτη κοινοτυπία" είναι νομίζω κάπως υπερβολικό .

Κυνηγώντας το σημείο.pngΜια άλλη λύση είναι από το σημείο της , για το οποίο είναι , να φέρουμε .

Πάντως εμένα κ. Λάμπρου μου άρεσε και η κίνηση του Θανάση .

Σε παρόμοιο αποτέλεσμα καταλήγω μετατρέποντας τετράπλευρο σε ισοδύναμο τρίγωνο

Έχω την εντύπωση ότι η λύση και των δύο σας είναι ίδια. με άλλη όμως κατά νου φιλοσοφία

[Mihalis_Lambrou]

Μιχάλη , πράγματι η άσκηση είναι από τις "βασικές" , αλλά το "απόλυτη κοινοτυπία" είναι νομίζω κάπως υπερβολικό .

Ας πάρουμε τα πράγματα από την αρχή.

Στοιχεία Α 44.png (21.08 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

Όπως είδαμε, η εν λόγω κατασκευή υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη, Α' 44 (και με γενίκευσή του αργότερα) από εκεί ως θεωρία σε όλες τις Γεωμετρίες που, τουλάχιστον μέχρι το 1800, ήταν αντιγραφή από τα Στοιχεία.

Η διαδικασία αυτή, δηλαδή δοθέντος ευθυγράμμου τμήματος και ενός πολυγώνου, να κατασκευαστεί ισεμβαδικό παραλληλόγραμμο με πλευρά το δοθέν τμήμα, ονομάζεται "παραβολή χωρίου". Το κρατάμε αυτό. Στα Στοιχεία υπάρχουν διάφορες κατασκευές παραβολής χωρίου, με ή χωρίς άλλους περιορισμούς, Τέτοια είναι και η Πρόταση Α 44, που απαιτεί ακόμα να είναι δοθείσα και η γωνία.

Απολλόδωρος.png (47.1 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

Η παραβολή χωρίου αποδίδεται στον Πυθαγόρα. Κατά τον Πλούταρχο στο Κατ΄Επίκουρον, με παραπομπή στον Απολλόδωρο, η παραβολή χωρίου, όπως και το Πυθογόρειο Θεώρημα, θεωρούνται τα διαμάντια του Πυθαγόρα για το/τα οποία έκανε θυσία για την εύνοια που του έδωσαν ο θεοί. Βλέπε τελευταία γραμμή στο παραπάνω.

Σε όλη την βιβλιογραφία, αρχαία και ξένη, μελετάται η παραβολή χωρίου. Κορυφαίο παράδειγμαείναι όταν ο Απολλώνιος από μία ιδιότητα της "ορθογωνίου κώνου τομής" άλλαξε το όνομα της καμπύλης και την ονόμασε "παραβολή". Το ίδιο που χρησιμοποιούμε και εμείς έκτοτε, ξεχνώντας το παλιό της όνομα αλλά αντανακλώντας την παραβολή χωρίου. Βλέπε την τελευταία γραμμή εδώ

Κωνικά 11-14.png (136.29 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

Στην Ελληνική βιβλιογραφία, για να μείνω στα δικά μας, γιατί η ξένη βιβλιογραφία είναι εκτενέστατη, το πρώτο Μαθηματικό κείμενο, η Οδός Μαθηματικής του Ανθρακίτη επί Τουρκοκρατίας, το 1749, περιέχει ως θεωρία την κατασκευή που συζητάμε. Βλέπε

Ανθρακίτης.png (24.76 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

.

Οδός.png (106.69 KiB) Προβλήθηκε 495 φορές

(Συνεχίζω στο μεθεπόμενο ποστ γιατί το mathematica δεν με αφήνει να φορτώσω άλλη εικόνα)



.

[ΝΙΚΟΣ]

Περίμενα να δω τη παρακάτω εύκολη λύση και επειδή δε τη βλέπω, την αναρτώ:

Αν και είναι τα ύψη του τριγώνου τότε θα έχουμε:
. =. από την οποία παίρνουμε την .



Είναι τυχαίο που προστριβές μόνο με τον κ. Μ. Λάμπρου έχω και με τους κ.κ. Γεν. Συντονιστές, οι οποίοι πάντοτε τον υποστηρίζουν και ας μην έχει δίκιο; Οι υπόλοιποι Μαθηματικοί μόνο καλά και επαινετικά λόγια έγραψαν για μένα και το έργο μου:
ΕΔΩ
και
ΕΔΩ
ποστ136, 137 και 138.

[Mihalis_Lambrou]

Συνεχίζω από το ποστ #5, όπου το θέμα είναι η απάντησή μου στην ένσταση

Μιχάλη , πράγματι η άσκηση είναι από τις "βασικές" , αλλά το "απόλυτη κοινοτυπία" είναι νομίζω κάπως υπερβολικό .

Το αμέσως επόμενο Ελληνικό βιβλίο, του Ευγενίου Βουλγάρεως η Τακουετίου, Στοιχεία Γεωμετρίας, μετάφραση από τα Λατινικά της Γεωμετρίας του Andre Tacquet, που εκδόδόθηκε το 1805 αλλά κυκλοφορούσε ως χειρόγραφο περί τα 50 χρόνια νωρίτερα, περιέχει ακριβώς την εν λόγω κατασκευή, παραβολής χωρίου. Βλέπε από την σελίδα 65 εδώ

Βούλγαρης.png (23.34 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές

.

Τακουετίου.png (66.91 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές

.

Από τον Ανθρακίτη και τον Βούλγαρη, η κατασκευή πέρασε σε όλες τις Ελληνικές Γεωμετρίες. Αντίστοιχα στις ξένες. 'Ενα παράδειγμα αρκεί, ψάχνοντας σχεδόν στην τύχη,

Στο περιοδικό Mathematical Monthly (μη το μπλέκουμε με το κορυφαίο American Mathematical Monthly) τεύχος 1, το 1859 στο πρόβλημα νεύσης "από δοθέν σημείο εκτός δοθείασας γωνίας να αχθεί τέμνουσα που αποκόπτει από την γωνία δοθέν εμβαδόν". Στο πρώτο κιόλας βήμα της λύσης ο συγγραφέας της κατασκευής χρησιμοποιεί την κατασκευή που συζητάμε ως δεδομένη, ούτε καν αναφέρει τίποτα γι΄αυτή. Την θεωρεί, δηλαδή, κοινή γνώση. Βλέπε από την σελίδα 75 εδώ
.

Mathematical Monthly 1859.png (103.54 KiB) Προβλήθηκε 486 φορές

.

Ας σταματήσω εδώ, αν και έχω άπειρα ακόμη στοιχεία.

Συνοψίζοντας: Έχουμε μία κατασκευή που υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη, και από εκεί σε όλες τις Γεωμετρίες, ένα από θα διαμάντια των Πυθαγορείων που προκάλεσε θυσία, ένα στοιχείο που ο Απολλώνιος το χρησιμοποίησε για να αλλάξει το όνομα μίας καμπύλης, μία κατασκευή που θεωρείται γνωστή και χρησιμοποιείται χωρίς παραπομπή, και βρίσκεται ως θεωρία παντού (όχι κρυμμένη κάπου ως άσκηση). Θεωρεί κανείς ότι ο χαρακτηρισμός της ως "απόλυτη κοινοτυπία" είναι υπερβολικός; Έ, όχι.

[Doloros]

Περίμενα να δω τη παρακάτω εύκολη λύση και επειδή δε τη βλέπω, την αναρτώ:

Αν και είναι τα ύψη του τριγώνου τότε θα έχουμε:
. =. από την οποία παίρνουμε την .

Η λύση που προτείνει ο κ. ΝΙΚΟΣ γίνεται (αλλά δεν το αναφέρει ) με κατασκευή τέταρτης ανάλογου .

Η λύση που δίδει ο κ. Λάμπρου είναι με τέταρτη ανάλογο.

και μάλιστα δείχνει πως προσαρμόζεται στο συγκεκριμένο πρόβλημα .

[Μιχάλης Τσουρακάκης]

Κυνηγώντας το σημείο.pngΣτην βάση τριγώνου βρίσκεται σημείο , διαφορετικό από το μέσο της .

Εντοπίστε σημείο της πλευράς , για το οποίο να είναι : .

Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο ώστε κι έστω μέσον της

Η παράλληλη από το προς την τέμνει την στο .Η τέμνει την στο ζητούμενο σημείο

Πράγματι ,το θα είναι μέσον της ,άρα

Κυνηγώντας το σημείο.png (17.67 KiB) Προβλήθηκε 438 φορές