Ακρότατα διαφορετικής δυσκολίας

KARKAR · #1

: Ακρότατα διαφορετικής δυσκολίας.png (17.62 KiB) Προβλήθηκε 207 φορές

Στις πλευρές AB , AD , CD

, του - διαστάσεων $10 \times 6$ - ορθογωνίου ABCD

, θεωρούμε σημεία S , P , Q

αντίστοιχα ,

ώστε : BS=AP=DQ

. α) Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου QPS

...β) Βρείτε το ελάχιστο του ύψους

.

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 27, 2025 9:57 am Ακρότατα διαφορετικής δυσκολίας.pngΣτις πλευρές , του - διαστάσεων $10 \times 6$ - ορθογωνίου , θεωρούμε σημεία αντίστοιχα ,

ώστε : . α) Βρείτε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου ...β) Βρείτε το ελάχιστο του ύψους .

α) Aν

τότε

$(QPS)=(ADQS)- (APS)-(PDQ)= 30 - \dfrac {1}{2}a(10-a)-\dfrac {1}{2}a(6-a)=$

$=a^2-8a+30 = (a-4)^2+14\ge 14$ με ισότητα όταν a=4

.

β) Ε'ιναι $\dfrac {1}{2}PS\cdot h= (QPS)= a^2-8a+30$ . Άρα $h= \dfrac {2a^2-16a+60}{\sqrt {a^2+(10-a)^2}}$ . Τώρα μπορούμε να βρούμε το ελάχιστο με παραγώγιση. Επειδή είναι θέμα ρουτίνας και χιλιοειπωμένο, με πολλές πράξεις, δεν αξίζει ο κόπος της πληκτρολόγισης. Αν έκανα σωστά τις πράξεις, οδηγεί στην τριτοβάθμια a^3-15a^2+110a-250=0

. Με λογισμικό για να αποφύγω πράξεις που διώχνουν τους μαθητές μας από τα Μαθηματικά, βρήκα $a\approx 3,64$ , και λοιπά.

Ακρότατα διαφορετικής δυσκολίας

Ακρότατα διαφορετικής δυσκολίας

Re: Ακρότατα διαφορετικής δυσκολίας

Μέλη σε σύνδεση